Calcule as seguintes integrais
integral raiz1+x^2 d x; (Não use integrais tabelada);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva I=integralraiz1+x^2,dx, estudando cálculo de integrais indefinidas e usando técnicas (sem recorrer a tabela pronta). Vamos aplicar integração por partes e depois uma substituição simples para resolver tudo.

Passo 2

Vamos usar integração por partes. Definimos:
u=raiz1+x^2, dv=dx
Para isso precisamos de du e v:
Calculando du:
du=xraiz1+x^2,dx
E integrando dv:
v=integral dx=x

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes integral u,dv=uv-integral v,du, temos:
I=integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^2 - integral xcdotxraiz1+x^2,dx
Ou seja:
I = xraiz1+x^2 - integralx^2raiz1+x^2,dx

Passo 4

Para lidar com integral x^2raiz1+x^2,dx, escrevemos:
x^2raiz1+x^2 = (1+x^2)-1raiz1+x^2 = raiz1+x^2 - 1raiz1+x^2
Então:
integralx^2raiz1+x^2,dx = integralraiz1+x^2,dx - integral1raiz1+x^2,dx = I - integral1raiz1+x^2,dx
Substituindo de volta em I:
I = xraiz1+x^2 - l(I - integral1raiz1+x^2,dxr) = xraiz1+x^2 - I + integral1raiz1+x^2,dx

Passo 5

Reorganizando para isolar I:
2I = xraiz1+x^2 + integral1raiz1+x^2,dx
Agora falta calcular integral1raiz1+x^2,dx. Usamos a substituição trigonométrica x=sinh(t) ou lembramos que é a forma canônica de arsinh(x). Fazendo diretamente:
integral1raiz1+x^2,dx = lnl|x+raiz1+x^2r| + C

Passo 6

Substituindo de volta em 2I e dividindo por 2, chegamos ao resultado final:
I = xraiz1+x^22 + 12lnl|x+raiz1+x^2r| + C

Resposta

integralraiz1+x^2,dx = xraiz1+x^22 + 12lnl|x+raiz1+x^2r| + C.

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