Encontre a equação da variação da pressão entre 2 pontos de um líquido contido em um balde subindo em um elevador com velocidade constante. Despreze possíveis tensões de cisalhamento.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar como a pressão varia entre dois pontos de um líquido num balde que está subindo num elevador com velocidade constante. Isso cai na matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente na parte de Hidrostática.
O que vamos precisar:
  1. Entender que, como o elevador sobe com velocidade constante, não há aceleração extra (além da gravidade).
  2. Saber que, num fluido em repouso relativo ao recipiente, a pressão varia só por causa do peso do líquido acima (é a chamada equação da hidro­­stática).
  3. Conhecer a densidade do líquido (ρ) e a aceleração da gravidade (g).

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que rola quando o fluido “não está acelerando” junto com o balde. Num referencial que sobe com o elevador (o balde), o fluido está parado, então não tem aceleração relativa. Ou seja, não aparecem “forças inerciais” extras. A única força que afeta cada pedacinho de fluido é o peso, que é ρ·g apontando pra baixo.

Passo 3

Da Mecânica dos Fluidos, temos a equação de Euler para escoamentos. No caso estático (velocidade zero no referencial do balde), ela fica:
nabla p = rho,g
Mas aqui g é o vetor aceleração da gravidade, geralmente g=(0,0,-g) se tomarmos o eixo z apontando para cima.

Passo 4

Escolhendo o eixo z vertical pra cima, a equação vetorial vira em componente única:
dpdz = -rho,g
Explicando: quando z aumenta a gente sobe, a pressão diminui; por isso o sinal negativo. Se quisermos ver a diferença de pressão entre dois níveis z1 e z2, basta integrar:
integralp1^p2 dp = -rho,g integralz1^z2 dz

Passo 5

Fazendo a conta da integração dá:
p2 - p1 = -rho,g,(z2 - z1)
Ou, rearranjando (e trocando de sinal pra ver a diferença positiva com profundidade):
p2 - p1 = rho,g,(z1 - z2)
Aqui z1 é a cota do ponto 1 e z2 a cota do ponto 2. Se o ponto 2 estiver mais embaixo que o 1, z1 - z2 é positivo e a pressão realmente aumenta.

Resposta

A equação geral da variação de pressão entre dois pontos 1 e 2 é
boxedp2 - p1 = rho,g,(z1 - z2)
como se o balde estivesse simplesmente parado — o fato de subir a velocidade constante não muda nada na hidro­­stática.

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