Questão 1: A partir da equação de conservação da QM para o escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante (na forma vetorial) obtida na questão anterior,
a) Na expressão acima, identifique os termos: i) viscosos; ii) de pressão; iii) advectivos/inerciais e iv) transiente. Explique, em poucas palavras, o que esses termos representam
b) Considerando um caso bidimensional, expresse as equações de conservação da QM nas direções x e y
c) Mostre com a equação acima pode ser reescrita em sua forma não-conservativa, isto é,
b) Considerando um caso bidimensional, expresse as equações de conservação da QM nas direções x e y
c) Mostre com a equação acima pode ser reescrita em sua forma não-conservativa, isto é,
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é a equação de conservação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) para um fluido incompressível e newtoniano, na forma vetorial:
Conteúdo: mecânica dos fluidos (Navier–Stokes), cálculo vetorial (gradiente, divergente, laplaciano). Vamos precisar entender cada termo fisicamente, escrever a equação em componentes x e y (2D) e usar uma identidade vetorial para passar da forma “conservativa” pra “não-conservativa”.
Passo 2
Parte (a) – identificação dos termos:
i) Transiente:
– representa a variação local da quantidade de movimento ao longo do tempo.
ii) Advectivo / Inercial:
– conta como o próprio escoamento transporta quantidade de movimento de um ponto pro outro.
iii) Pressão:
– força interna que o fluido sofre devido a diferenças de pressão.
iv) Viscoso:
– efeito de “atrito interno” do fluido (dispersão de momento por fricção molecular).
(Temos também o termo de corpo:
, que é a gravidade.)
Passo 3
Parte (b) – forma conservativa em 2D (componentes x e y). Assumindo densidade constante (
) e sem variações em z:
Para a componente u (eixo x):
Para a componente v (eixo y):
Passo 4
Parte © – de conservativa pra não-conservativa. A gente usa a identidade vetorial (e a condição
para incompressível):
Então
Substituindo na equação original, chega-se à forma não-conservativa.