Questão 1: A partir da equação de conservação da QM para o escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante (na forma vetorial) obtida na questão anterior,
partial(rho u)partial t+nabla cdot(rho u u)=-nabla p+mu nabla^2 u+rho g
a) Na expressão acima, identifique os termos: i) viscosos; ii) de pressão; iii) advectivos/inerciais e iv) transiente. Explique, em poucas palavras, o que esses termos representam
b) Considerando um caso bidimensional, expresse as equações de conservação da QM nas direções x e y
c) Mostre com a equação acima pode ser reescrita em sua forma não-conservativa, isto é,
rho(partial upartial t+u cdot nabla u)=-nabla p+mu nabla^2 u+rho g

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é a equação de conservação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) para um fluido incompressível e newtoniano, na forma vetorial:
partial(rho u)partial t + nabla!cdot(rho,u,u) = -nabla p + mu,nabla^2u + rho,g
Conteúdo: mecânica dos fluidos (Navier–Stokes), cálculo vetorial (gradiente, divergente, laplaciano). Vamos precisar entender cada termo fisicamente, escrever a equação em componentes x e y (2D) e usar uma identidade vetorial para passar da forma “conservativa” pra “não-conservativa”.

Passo 2

Parte (a) – identificação dos termos:
i) Transiente:
partial(rho u)partial t
– representa a variação local da quantidade de movimento ao longo do tempo.
ii) Advectivo / Inercial:
nabla!cdot(rho,u,u)
– conta como o próprio escoamento transporta quantidade de movimento de um ponto pro outro.
iii) Pressão:
-nabla p
– força interna que o fluido sofre devido a diferenças de pressão.
iv) Viscoso:
mu,nabla^2u
– efeito de “atrito interno” do fluido (dispersão de momento por fricção molecular).
(Temos também o termo de corpo: , que é a gravidade.)

Passo 3

Parte (b) – forma conservativa em 2D (componentes x e y). Assumindo densidade constante ( partial(rho u)partial t + partial(rho u^2)partial x + partial(rho u v)partial y = -partial ppartial x + mul(partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2r) + rho,gx ) e sem variações em z:
Para a componente u (eixo x):
partial(rho v)partial t + partial(rho u v)partial x + partial(rho v^2)partial y = -partial ppartial y + mul(partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2r) + rho,gy
Para a componente v (eixo y):

Passo 4

Parte © – de conservativa pra não-conservativa. A gente usa a identidade vetorial (e a condição nabla!cdot(rho,vec u,vec u) = rho,nabla!cdot(vec u,vec u) = rhol[(vec ucdotnabla)vec u + vec u,(nablacdotvec u)r] = rho,(vec ucdotnabla)vec u para incompressível):
partial(rho vec u)partial t + nabla!cdot(rho,vec u,vec u) = rhopartial vec upartial t + rho,(vec ucdotnabla)vec u = rhol(partial vec upartial t + vec ucdotnablavec ur)
Então
Substituindo na equação original, chega-se à forma não-conservativa.

Resposta

rhol(partial upartial t + ucdotnablaur) = -nabla p + mu,nabla^2u + rho,g

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