Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( x1= bactéria (preza), x2= protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
d x1d t=a cdot x1-gamma cdot x1 cdot x2
d x2d t=varepsilon cdot gamma cdot x1 cdot x2-beta cdot x2
f. E se x1(0) neq 0 e x2(0)=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que a gente vai precisar.
Você tem o modelo predador-presa de Lotka-Volterra:
dx1dt = a,x1 - gamma,x1,x2, [6pt] dx2dt = varepsilon,gamma,x1,x2 - beta,x2,
onde
= bactéria (presa),
= protozoário (predador),
são constantes positivas.
A pergunta f) é: o que acontece se, no tempo zero, você já tem bactérias ( ) mas nenhum predador ( )?
Para resolver, a gente vai usar:
  1. Noção de equações diferenciais de primeira ordem,
  2. Propriedade de existência/única solução (se a condição inicial bate com , essa solução continua igual a zero),
  3. Solução da ODE (crescimento exponencial).

Passo 2

Olha a equação do predador:
dx2dt = varepsilon,gamma,x1,x2 - beta,x2 = (varepsilon,gamma,x1 - beta),x2
Se , por unicidade de solução de ODE, a única forma de manter contínuo e obedecer a condição inicial é ter para todo . Ou seja, o predador nunca “nasce” se começar com zero.

Passo 3

Agora a equação da presa vira simplesmente
dx1dt = a,x1 (porque (x2(t)=0) zera o segundo termo)
Isso é uma ODE linear de crescimento exponencial. A solução geral para
x1(t) = x1(0), e^,a t com é

Resposta

boxed x1(t) = x1(0),e^a t, x2(t) = 0
Interpretação: sem predadores no início, as bactérias crescem exponencialmente (taxa ) e o protozoário permanece extinto.

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