Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( bactéria (preza), protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
f. se ?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que a gente vai precisar.
Você tem o modelo predador-presa de Lotka-Volterra:
onde
• = bactéria (presa),
• = protozoário (predador),
• são constantes positivas.
A pergunta f) é: o que acontece se, no tempo zero, você já tem bactérias () mas nenhum predador ()?
Para resolver, a gente vai usar:
Noção de equações diferenciais de primeira ordem,
Propriedade de existência/única solução (se a condição inicial bate com , essa solução continua igual a zero),
Se , por unicidade de solução de ODE, a única forma de manter contínuo e obedecer a condição inicial é ter para todo . Ou seja, o predador nunca “nasce” se começar com zero.
Passo 3
Agora a equação da presa vira simplesmente
dx1dt = a,x1 (porque (x2(t)=0) zera o segundo termo)
Isso é uma ODE linear de crescimento exponencial. A solução geral para x1(t) = x1(0), e^,a t com é
Resposta
boxed x1(t) = x1(0),e^a t, x2(t) = 0
Interpretação: sem predadores no início, as bactérias crescem exponencialmente (taxa ) e o protozoário permanece extinto.