Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema ( x1= bactéria (preza), x2= protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
d x1d t=a cdot x1-gamma cdot x1 cdot x2
d x2d t=varepsilon cdot gamma cdot x1 cdot x2-beta cdot x2
e. Agora considere a solução do estado estacionário trivial ( x1 s=x2 s=0.0 ). Esta solução é estável ? Faça simulações quando x1(0) neq 0 e x2(0) neq 0. O que você encontra?

Passo 1

Beleza, vamos relembrar o que está rolando: temos um reator com bactérias (preza, dx1dt = a,x1 ;-;gamma,x1,x2, dx2dt = varepsilon,gamma,x1,x2 ;-;beta,x2 ) e protozoários (predador, (x1s,,x2s) = (0,0) ). O modelo são as famosas equações de Lotka–Volterra:
A questão pede para analisar a estabilidade da solução trivial
e depois simular com condições iniciais , . O conteúdo é análise de equilíbrio e estável/inestável via linearização (Jacobi­ano) e interpretação de simulações numéricas.

Passo 2

Linearização (Jacobi­ano) no ponto J(x1,x2) = partialx1l(a x1 - gamma x1 x2r) & partialx2(dots) partialx1l(varepsilongamma x1 x2 - beta x2r) & partialx2(dots) = a - gamma x2 & -,gamma x1 varepsilongamma x2 & varepsilongamma x1 - beta :
  1. Montamos a matriz Jacobiana geral

[
J(x_1,x_2) =
J(0,0) = a & 0 0 & -beta

.
]
  1. Avaliando em , fica
  1. Os autovalores são simplesmente e .

Passo 3

Interpretando os autovalores:
  • Como , temos .
  • Como , temos .
Isso significa que o ponto é uma sela (saddle point): uma direção cresce exponencialmente (instável) e a outra decai. Logo, o equilíbrio trivial é instável.

Passo 4

O que as simulações mostram? Se você começar com e , nunca vai morrer tudo nem vai convergir pro zero. Em vez disso, você vê que:
  • Primeiro as bactérias crescem livremente (pois o predador é pequeno).
  • Daí cresce o protozoário se alimentando, faz a bactéria cair.
  • Depois o predador fica sem comida e cai, aí a bactéria se recupera… e assim vai, gerando oscilações.
No modelo clássico sem amortecimento, essas oscilações têm amplitude constante (ou seja, órbitas fechadas).

Resposta

O ponto é instável (sela). Simulações com , mostram que as populações não vão para zero mas entram num ciclo de oscilações contínuas entre bactérias e protozoários.

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