Como engenheiro químico em uma indústria farmacêutica você é responsável por um processo que utiliza uma bactéria para produzir um antibiótico. O reator foi contaminado com um protozoário que consome a bactéria. Assuma que equações predador-preza são utilizadas para modelar o sistema (
bactéria (preza),
protozoário (predador)). A unidade de tempo é o dia.
e. Agora considere a solução do estado estacionário trivial (
). Esta solução é estável ? Faça simulações quando
. O que você encontra?
e. Agora considere a solução do estado estacionário trivial (
Passo 1
Beleza, vamos relembrar o que está rolando: temos um reator com bactérias (preza,
) e protozoários (predador,
). O modelo são as famosas equações de Lotka–Volterra:
A questão pede para analisar a estabilidade da solução trivial
e depois simular com condições iniciais
,
. O conteúdo é análise de equilíbrio e estável/inestável via linearização (Jacobiano) e interpretação de simulações numéricas.
Passo 2
Linearização (Jacobiano) no ponto
:
- Montamos a matriz Jacobiana geral
[
J(x_1,x_2) =
]
- Avaliando em
, fica
- Os autovalores são simplesmente
e .
Passo 3
Interpretando os autovalores:
- Como
, temos . - Como
, temos .
Isso significa que o ponto
é uma sela (saddle point): uma direção cresce exponencialmente (instável) e a outra decai. Logo, o equilíbrio trivial é instável.
Passo 4
O que as simulações mostram? Se você começar com
e
, nunca vai morrer tudo nem vai convergir pro zero. Em vez disso, você vê que:
- Primeiro as bactérias crescem livremente (pois o predador é pequeno).
- Daí cresce o protozoário se alimentando, faz a bactéria cair.
- Depois o predador fica sem comida e cai, aí a bactéria se recupera… e assim vai, gerando oscilações.
No modelo clássico sem amortecimento, essas oscilações têm amplitude constante (ou seja, órbitas fechadas).
Resposta
O ponto
é instável (sela). Simulações com
,
mostram que as populações não vão para zero mas entram num ciclo de oscilações contínuas entre bactérias e protozoários.