A temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) de uma placa de metal no plano x y é
T(x, y)=x y1+x^2+y^2
a) Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção e sentido de v=(2,-1).
b) Uma formiga em (1,1) precisa andar na direção na qual a temperatura beixe mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de uma função de duas variáveis e depois achar a direção de decrescimento mais rápido. O conteúdo é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para calcular o gradiente de T(x,y)=xy1+x^2+y^2, usamos a regra do quociente. Chamando o numerador de N=xy e o denominador de D=1+x^2+y^2, temos
partial Tpartial x=y,D - x y,2xD^2=y(1+x^2+y^2)-2x^2y(1+x^2+y^2)^2=y +y^3 - x^2y(1+x^2+y^2)^2,
partial Tpartial y=x,D - x y,2yD^2=x(1+x^2+y^2)-2xy^2(1+x^2+y^2)^2=x +x^3 - xy^2(1+x^2+y^2)^2

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,1). Como 1+1^2+1^2=3 e 3^2=9, obtemos
partial Tpartial x(1,1)=1+1-19=19,
partial Tpartial y(1,1)=1+1-19=19

Passo 4

O vetor gradiente em (1,1) é portanto nabla T(1,1)=(1/9,,1/9).
Para a derivada direcional na direção de v=(2,-1), normalizamos v:
hat v=(2,-1)raiz2^2+(-1)^2=(2,-1)raiz5

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar nabla T(1,1)cdothat v:
$$
D_{\hat v}T(1,1)=\Bigl(\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{9}\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr)=\frac{2-1}{9\sqrt5}=\frac{1}{9\sqrt5}.$$

Passo 6

A direção de decrescimento mais rápido é o sentido negativo do gradiente. Normalizando (-1/9,-1/9):
l|(-tfrac19,-tfrac19)r|=raiz29,
logo o vetor unitário =(-1/9,-1/9)(raiz2/9)=l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)á

Resposta

a) tfrac19raiz5 b) l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)

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