Os registros mostram que, x anos appelo proprós o ano de 2005, o imposto predial pago pelo propriétario de um apartamento de quatro em uma cidade americana de grande porte foi, em média T(x)=3 x^2+40 x+1800, dólares.
A que taxa percentual o imposto predial estava aumentando em 2008?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o imposto predial pago por um proprietário de apartamento em uma cidade americana grande. A função que descreve esse imposto é $ T(x) = 3x^{2} + 40x + 1800 $, onde $ x $ representa os anos após 2005. O conteúdo que vamos usar aqui é o de taxas de variação, especificamente a derivada, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em um determinado ponto. Vamos precisar calcular a derivada de $ T(x) $ e depois avaliar essa derivada no ano de 2008 para descobrir a taxa percentual de aumento do imposto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ T(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $, ou seja, como o imposto está aumentando ou diminuindo a cada ano. Para a função $ T(x) = 3x^{2} + 40x + 1800 $, a derivada $ T’(x) $ é calculada assim:
T(x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ T’(x) = 6x + 40 $, queremos saber qual é essa taxa de variação no ano de 2008. Já que $ x $ representa os anos após 2005, 2008 corresponde a $ x = 3 $.
Vamos substituir $ x = 3 $ na derivada:
T'(x) = 6x + 40
Isso significa que, em 2008, o imposto estava aumentando a uma taxa de 58 dólares por ano.

Passo 4

Para encontrar a taxa percentual de aumento, precisamos relacionar essa taxa de variação ao valor do imposto naquele ano. Primeiro, vamos calcular o valor do imposto em 2008 substituindo $ x = 3 $ na função original $ T(x) $:
x = 3 ó

Passo 5

Agora, calculamos a taxa percentual de aumento usando a fórmula:
Taxa Percentual = ( T'(3)T(3) ) times 100% = ( 581947 ) times 100% approx 2,98%

Resposta

Em 2008, o imposto predial estava aumentando a uma taxa de aproximadamente 2,98% ao ano.

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