Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Parábola com foco (1,2) e diretriz y= -2

Passo 1

O enunciado dá: foco (1,2) e diretriz y=-2. A pergunta é: encontrar a(s) equação(ões) da parábola que tem essas propriedades. Lista das informações úteis que já temos:
\bullet foco F=(1,2).
\bullet diretriz y=-2.

Passo 2

Definição útil (vamos usar ela): uma parábola é o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Em fórmula: a distância de P ao foco deve ser igual à distância de P à diretriz.

Passo 3

Escrevendo a distância de um ponto P=(x,y) ao foco F=(1,2). A distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula da distância euclidiana. Assim:
\text{dist}(P,F)=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}.
Aqui (x,y) são as coordenadas de um ponto genérico da parábola.

Passo 4

Escrevendo a distância de P=(x,y) à diretriz y=-2. A distância de um ponto à reta Ax+By+C=0 é \dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}. A reta y=-2 pode ser escrita como 0\cdot x + 1\cdot y + 2 = 0. Aplicando a fórmula:
\text{dist}(P,\text{diretriz})=\frac{|0\cdot x + 1\cdot y + 2|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|y+2|.
Observação prática: para a reta horizontal y=c, a distância vertical é simplesmente |y-c|.

Passo 5

Agora aplicamos a definição da parábola: igualamos as duas distâncias. Portanto
\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=|y+2|.
Para obter a equação algébrica removemos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado (isso é válido — à custa de possivelmente introduzir soluções extranhas se não tivéssemos a interpretação geométrica; aqui sabemos que a parábola está entre o foco e a diretriz de modo que y+2\ge 0, mas mesmo sem usar isso, a quadratura é a operação padrão):

Passo 6

Elevando ao quadrado:
(x-1)^2+(y-2)^2=(y+2)^2.
Agora expandimos ambos os lados passo a passo. Primeiro o lado esquerdo:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1,
(y-2)^2 = y^2 - 4y + 4.
Somando:
(x-1)^2+(y-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 -2x + y^2 -4y +5.
O lado direito:
(y+2)^2 = y^2 + 4y +4.

Passo 7

Igualando e simplificando (subtraindo y^2+4y+4 dos dois lados):
x^2 -2x + y^2 -4y +5 = y^2 +4y +4
\Rightarrow x^2 -2x -8y +1 = 0.
Isolando y para ter a forma explícita:
8y = x^2 -2x +1
\Rightarrow y = \frac{1}{8}\bigl(x^2 -2x +1\bigr).
Repare que x^2 -2x +1 é um quadrado perfeito:
x^2 -2x +1 = (x-1)^2.
Logo uma forma muito clara da parábola é
y = \frac{1}{8}(x-1)^2.

Passo 8

Interpretando a forma padrão: uma parábola vertical com vértice (h,k) e abertura vertical é dada por \\ (x-h)^2 = 4p(y-k). Reescrevendo nossa equação:
y = \frac{1}{8}(x-1)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2 = 8y.
Comparando com (x-h)^2 = 4p(y-k) vemos h=1, k=0 e 4p=8\Rightarrow p=2. Assim o vértice é (1,0), o foco fica em (1,k+p)=(1,2) e a diretriz é y=k-p= -2, confirmando que a equação obtida está correta.

Resposta

y=\frac{1}{8}(x-1)^2
x^2-2x-8y+1=0

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