Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Parábola com foco
e diretriz
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Parábola com foco
Passo 1
O enunciado dá: foco
e diretriz
. A pergunta é: encontrar a(s) equação(ões) da parábola que tem essas propriedades. Lista das informações úteis que já temos:
foco
.
diretriz
.
Passo 2
Definição útil (vamos usar ela): uma parábola é o lugar geométrico dos pontos
que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Em fórmula: a distância de
ao foco deve ser igual à distância de
à diretriz.
Passo 3
Escrevendo a distância de um ponto
ao foco
. A distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula da distância euclidiana. Assim:
Aqui
são as coordenadas de um ponto genérico da parábola.
Passo 4
Escrevendo a distância de
à diretriz
. A distância de um ponto à reta
é
. A reta
pode ser escrita como
. Aplicando a fórmula:
Observação prática: para a reta horizontal
, a distância vertical é simplesmente
.
Passo 5
Agora aplicamos a definição da parábola: igualamos as duas distâncias. Portanto
Para obter a equação algébrica removemos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado (isso é válido — à custa de possivelmente introduzir soluções extranhas se não tivéssemos a interpretação geométrica; aqui sabemos que a parábola está entre o foco e a diretriz de modo que
, mas mesmo sem usar isso, a quadratura é a operação padrão):
Passo 6
Elevando ao quadrado:
Agora expandimos ambos os lados passo a passo. Primeiro o lado esquerdo:
Somando:
O lado direito:
Passo 7
Igualando e simplificando (subtraindo
dos dois lados):
Isolando
para ter a forma explícita:
Repare que
é um quadrado perfeito:
Logo uma forma muito clara da parábola é
Passo 8
Interpretando a forma padrão: uma parábola vertical com vértice
e abertura vertical é dada por
. Reescrevendo nossa equação:
Comparando com
vemos
,
e
. Assim o vértice é
, o foco fica em
e a diretriz é
, confirmando que a equação obtida está correta.