Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Hipérbole com vértices
e passando por
Hipérbole com vértices
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas: Hipérbole com vértices
e passando por
".
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
Pergunta: determinar a(s) equação(ões) da hipérbole que satisfazem essas condições.
Passo 2
Interpretação direta dos vértices: vértices em
indicam que o centro da hipérbole é
, o eixo transverso está no eixo
e a distância do centro a cada vértice é
. Portanto
A forma padrão (mais simples) de uma hipérbole centrada na origem e com eixo transverso horizontal é
Explicando os símbolos:
é a semi-distância entre o centro e cada vértice ao longo do eixo transverso;
é o parâmetro da semi-conjugada (relaciona-se com a direção das assimptotas). Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Usamos a condição de que a hipérbole passa por
. Substituindo
e
na equação padrão com
:
Calcule cada termo:
e
. Assim obtemos a equação
Passo 4
Agora resolvemos a equação por
. Primeiro isolamos o termo com
:
Calcule
. Então
Dividindo ambos os lados por
(ou observando proporcionalidade) obtemos
Passo 5
Agora que temos
e
, substituímos na forma padrão:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é a forma mais compacta.
Passo 6
Breve comentário didático (útil para prova): quando
a hipérbole tem assimptotas com inclinações
, então as assimptotas são
. Isso ajuda a visualizar o gráfico e conferir se a equação faz sentido com os pontos e vértices dados.