Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas:
Hipérbole com vértices ( \pm 2,0) e passando por (3, \sqrt{5})

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre as equações das cônicas com as propriedades dadas: Hipérbole com vértices (\pm 2,0) e passando por (3,\sqrt{5})".
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{vértices } (\pm 2,0)é
\text{passa pelo ponto } (3,\sqrt{5})
Pergunta: determinar a(s) equação(ões) da hipérbole que satisfazem essas condições.

Passo 2

Interpretação direta dos vértices: vértices em (\pm 2,0) indicam que o centro da hipérbole é (0,0), o eixo transverso está no eixo x e a distância do centro a cada vértice é a=2. Portanto
a=2\quad\Rightarrow\quad a^{2}=4.
A forma padrão (mais simples) de uma hipérbole centrada na origem e com eixo transverso horizontal é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Explicando os símbolos: \;a é a semi-distância entre o centro e cada vértice ao longo do eixo transverso; \;b é o parâmetro da semi-conjugada (relaciona-se com a direção das assimptotas). Nosso objetivo é encontrar \;b^{2}.

Passo 3

Usamos a condição de que a hipérbole passa por (3,\sqrt{5}). Substituindo x=3 e y=\sqrt{5} na equação padrão com a^{2}=4:
\frac{3^{2}}{4}-\frac{(\sqrt{5})^{2}}{b^{2}}=1.
Calcule cada termo: 3^{2}=9 e (\sqrt{5})^{2}=5. Assim obtemos a equação
\frac{9}{4}-\frac{5}{b^{2}}=1.

Passo 4

Agora resolvemos a equação por \;b^{2}. Primeiro isolamos o termo com \;b^{2}:
\frac{9}{4}-1=\frac{5}{b^{2}}.
Calcule \frac{9}{4}-1=\frac{9}{4}-\frac{4}{4}=\frac{5}{4}. Então
\frac{5}{4}=\frac{5}{b^{2}}.
Dividindo ambos os lados por 5 (ou observando proporcionalidade) obtemos
\frac{1}{4}=\frac{1}{b^{2}}\quad\Rightarrow\quad b^{2}=4.

Passo 5

Agora que temos a^{2}=4 e b^{2}=4, substituímos na forma padrão:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
x^{2}-y^{2}=4.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é a forma mais compacta.

Passo 6

Breve comentário didático (útil para prova): quando a^{2}=b^{2} a hipérbole tem assimptotas com inclinações \pm \frac{b}{a}=\pm 1, então as assimptotas são y=\pm x. Isso ajuda a visualizar o gráfico e conferir se a equação faz sentido com os pontos e vértices dados.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{4}=1
x^{2}-y^{2}=4

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