Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole.
Informações relevantes que já temos: os termos quadráticos em e
estão presentes e os coeficientes são
para
e
para
. A equação está em forma geral, então precisaremos completá-la para a forma padrão da hipérbole.
Informações relevantes que já temos: os termos quadráticos em
Passo 2
Primeiro agrupo os termos em
e em
e fatoro os coeficientes das quadráticas:
Isto é só rearranjar para preparar a conclusão de quadrados. Note que factorizei
do grupo com
e
do grupo com
.
Passo 3
Agora vou completar o quadrado em cada grupo. Lembre que completar o quadrado transforma
em
. Faço isso separadamente:
Para
:
Para
:
Substituo estas expressões na equação do Passo 2:
Passo 4
Distribuo os fatores e simplifico os termos constantes:
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Explicando esta forma: a hipérbole está centrada em
. O termo positivo é o de
, portanto o eixo transverso é horizontal. Identifico
Aqui
é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso, e
é o semi-eixo conjugado que aparece nas assimptotas.
Passo 5
Vértices: para hipérbole com eixo transverso horizontal e centro
, os vértices são
Com
,
e
temos:
Então os vértices são
e
.
Passo 6
Focos: para hipérbole horizontal a relação entre
é
Isto vem da definição geométrica da hipérbole (distância focal) e é um resultado padrão: para hipérbole, o parâmetro
(distância do centro a cada foco) satisfaz
. Substituindo:
Os focos ficam em
Passo 7
Assíntotas: para a hipérbole na forma
as assíntotas são as retas que passam pelo centro e têm inclinação
. Ou seja,
Aqui
,
e
. Logo as assíntotas são
Se quiser escrever isolando
:
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: