Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
4 x^{2}-9 y^{2}-16 x-18 y=29

Passo 1

O enunciado fornece a equação
4x^{2}-9y^{2}-16x-18y=29
e pede para encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole.
Informações relevantes que já temos: os termos quadráticos em x e y estão presentes e os coeficientes são 4 para x^{2} e -9 para y^{2}. A equação está em forma geral, então precisaremos completá-la para a forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro agrupo os termos em x e em y e fatoro os coeficientes das quadráticas:
4(x^{2}-4x)-9(y^{2}+2y)=29.
Isto é só rearranjar para preparar a conclusão de quadrados. Note que factorizei 4 do grupo com x e -9 do grupo com y.

Passo 3

Agora vou completar o quadrado em cada grupo. Lembre que completar o quadrado transforma x^{2}+bx em (x+\tfrac{b}{2})^{2}-\big(\tfrac{b}{2}\big)^{2}. Faço isso separadamente:
Para x^{2}-4x:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Para y^{2}+2y:
y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Substituo estas expressões na equação do Passo 2:
4\big((x-2)^{2}-4\big)-9\big((y+1)^{2}-1\big)=29.

Passo 4

Distribuo os fatores e simplifico os termos constantes:
4(x-2)^{2}-16-9(y+1)^{2}+9=29.
4(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}-7=29.
4(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}=36.
Divido ambos os lados por 36 para obter a forma padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{9}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1.
Explicando esta forma: a hipérbole está centrada em (x_{0},y_{0})=(2,-1). O termo positivo é o de x, portanto o eixo transverso é horizontal. Identifico
a^{2}=9\quad\Rightarrow\quad a=3,
b^{2}=4\quad\Rightarrow\quad b=2.
Aqui a é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso, e b é o semi-eixo conjugado que aparece nas assimptotas.

Passo 5

Vértices: para hipérbole com eixo transverso horizontal e centro (x_{0},y_{0}), os vértices são
(x_{0}\pm a,\; y_{0}).
Com x_{0}=2, y_{0}=-1 e a=3 temos:
(2-3,-1)=(-1,-1)\quad\text{e}\quad(2+3,-1)=(5,-1).
Então os vértices são (-1,-1) e (5,-1).

Passo 6

Focos: para hipérbole horizontal a relação entre a,b,c é
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Isto vem da definição geométrica da hipérbole (distância focal) e é um resultado padrão: para hipérbole, o parâmetro c (distância do centro a cada foco) satisfaz c^{2}=a^{2}+b^{2}. Substituindo:
c^{2}=9+4=13 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{13}.
Os focos ficam em
(x_{0}\pm c,\; y_{0}) = (2\pm\sqrt{13},\,-1).

Passo 7

Assíntotas: para a hipérbole na forma
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1
as assíntotas são as retas que passam pelo centro e têm inclinação \pm \tfrac{b}{a}. Ou seja,
y-y_{0}=\pm\frac{b}{a}(x-x_{0}).
Aqui b/a=2/3, x_{0}=2 e y_{0}=-1. Logo as assíntotas são
y+1=\pm\frac{2}{3}(x-2).
Se quiser escrever isolando y:
y=-1+\frac{2}{3}(x-2)\quad\text{e}\quad y=-1-\frac{2}{3}(x-2).

Resposta

Vértices: (-1,-1) e (5,-1)
Focos: (2-\sqrt{13},-1) e (2+\sqrt{13},-1)
Assíntotas: y+1=\dfrac{2}{3}(x-2) e y+1=-\dfrac{2}{3}(x-2)

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