Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
Informações fornecidas:
Perguntas a responder:
- Quais são os vértices?
- Quais são os focos?
- Quais são as equações das assíntotas?
Passo 2
Vamos reescrever a equação completando quadrados para pô-la na forma padrão da hipérbole. Primeiro, agrupo termos em
e em
:
Explicação do passo “completar o quadrado”: para uma expressão quadrática
adicionamos e subtraímos
para escrever como
. Aqui aplicamos isso a
e a
.
Calculo para
:
pois
.
Calculo para
:
pois
.
Substituo esses resultados na equação:
Passo 3
Agora eu simplifico a expressão:
Juntando os termos constantes
obtemos
. Então:
Isolando os quadrados:
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Interpretação desta forma: é uma hipérbole centrada em
, com denominadores
e
. Logo
Passo 4
Vértices: para a hipérbole na forma
(eixo transverso horizontal), os vértices ficam sobre a direção
a partir do centro, a distância
. Assim:
Os vértices são
Calculando:
Passo 5
Focos: para essa hipérbole a relação entre
,
e
(distância do centro aos focos) é
Explicação: para hipérboles esse é o análogo da elipse (mas com soma trocada por diferença); fisicamente é a constante que define os focos. Aqui:
Como o eixo principal é horizontal, os focos estão em
Ou seja:
Passo 6
Assíntotas: para a forma
as assíntotas são retas passando pelo centro com inclinações
. A fórmula é
Aqui
e
. Então:
Colocando em forma
(mais usual):
Para o sinal :
Para o sinal
Para o sinal
:
Observação didática curta: essas retas são as que a hipérbole se aproxima quando
e
ficam grandes; aparecem como os “ramos” enxutos em torno dessas linhas.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: