Para as hipérboles dadas, encontre vértices, focos e assíntotas:
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y=19

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y=19.
Informações fornecidas:
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y=19.
Perguntas a responder:
  1. Quais são os vértices?
  2. Quais são os focos?
  3. Quais são as equações das assíntotas?

Passo 2

Vamos reescrever a equação completando quadrados para pô-la na forma padrão da hipérbole. Primeiro, agrupo termos em x e em y:
x^{2}-2x \;-\;4\bigl(y^{2}-4y\bigr)=19.
Explicação do passo “completar o quadrado”: para uma expressão quadrática u^{2}+pu adicionamos e subtraímos (p/2)^{2} para escrever como (u+p/2)^{2}-(p/2)^{2}. Aqui aplicamos isso a x^{2}-2x e a y^{2}-4y.
Calculo para x:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,
pois (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Calculo para y:
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4,
pois (y-2)^{2}=y^{2}-4y+4.
Substituo esses resultados na equação:
(x-1)^{2}-1 \;-\;4\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)=19.

Passo 3

Agora eu simplifico a expressão:
(x-1)^{2}-1 \;-\;4(y-2)^{2}+16 =19.
Juntando os termos constantes -1+16 obtemos +15. Então:
(x-1)^{2}-4(y-2)^{2}+15=19.
Isolando os quadrados:
(x-1)^{2}-4(y-2)^{2}=4.
Divido ambos os lados por 4 para obter a forma padrão:
\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{1}=1.
Interpretação desta forma: é uma hipérbole centrada em (h,k)=(1,2), com denominadores a^{2}=4 e b^{2}=1. Logo
a=\sqrt{4}=2,\qquad b=\sqrt{1}=1.

Passo 4

Vértices: para a hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 (eixo transverso horizontal), os vértices ficam sobre a direção x a partir do centro, a distância a. Assim:
\text{centro }(h,k)=(1,2).
Os vértices são
(h\pm a,\;k)=(1\pm 2,\;2).
Calculando:
(1+2,2)=(3,2),\qquad (1-2,2)=(-1,2).

Passo 5

Focos: para essa hipérbole a relação entre a, b e c (distância do centro aos focos) é
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Explicação: para hipérboles esse é o análogo da elipse (mas com soma trocada por diferença); fisicamente é a constante que define os focos. Aqui:
c^{2}=4+1=5 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.
Como o eixo principal é horizontal, os focos estão em
(h\pm c,\;k)=(1\pm \sqrt{5},\;2).
Ou seja:
\bigl(1+\sqrt{5},\,2\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(1-\sqrt{5},\,2\bigr).

Passo 6

Assíntotas: para a forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são retas passando pelo centro com inclinações \pm \dfrac{b}{a}. A fórmula é
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Aqui \dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2} e (h,k)=(1,2). Então:
y-2=\pm\frac{1}{2}(x-1).
Colocando em forma y= (mais usual):
Para o sinal +:
y-2=\frac{1}{2}(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.
Para o sinal -:
y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}.
Observação didática curta: essas retas são as que a hipérbole se aproxima quando |x| e |y| ficam grandes; aparecem como os “ramos” enxutos em torno dessas linhas.

Resposta

Vértices: (3,2) e (-1,2)
Focos: \bigl(1+\sqrt{5},\,2\bigr) e \bigl(1-\sqrt{5},\,2\bigr)
Assíntotas: y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} e y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}

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