Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços:
W=[(-2,1,0) ;(3,0,1) ;(-1,2,1)] em R^3;

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=lang<=(-2,1,0),,(3,0,1),,(-1,2,1)rang<=subsetR^3
e pede as equações lineares homogêneas que o caracterizam.
Conteúdo: para descrever um plano em R^3 como solução de equações lineares homogêneas, encontramos um vetor normal n=(a,b,c) tal que
ncdot vi=0 para cada vetor >=rador vi

Passo 2

Primeiro notamos que os três vetores são linearmente dependentes (determinante zero), mas dois deles, por exemplo
v1=(-2,1,0), v2=(3,0,1),
são independentes e geram um plano de dimensão 2 em R^3. Logo codim,W=1 e basta uma única equação linear homogênea para descrevê-lo.

Passo 3

Procuramos n=(a,b,c)neq(0,0,0) tal que
ncdot v1=0 e ncdot v2=0
Isto garante ncdot v3=0 também, pois v3 é combinação dos dois primeiros.

Passo 4

Usamos o produto vetorial para achar diretamente um normal a v1 e v2:
n = v1times v2 = i & j & k -2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 = (1,2,-3)
Verifique:
(1,2,-3)cdot(-2,1,0)=0, (1,2,-3)cdot(3,0,1)=0,
e também com (-1,2,1).

Passo 5

A equação homogênea que define W é
ncdot(x,y,z)=0 Longrightarrow x + 2y - 3z = 0

Resposta

A única equação linear homogênea que caracteriza WsubsetR^3 é
x + 2y - 3z = 0

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