Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço
Aqui o conteúdo é subespaço de matrizes e vamos precisar parametrizar a condição
, expressar um elemento de
em termos de parâmetros livres e extrair vetores que formem uma base.
Passo 2
A condição
equivale a
. Logo, um elemento genérico de
é
onde
,
e
são quaisquer reais. Assim temos três parâmetros livres:
,
e
.
Passo 3
Reescrevendo
Isto mostra que os vetores
geram
.
Passo 4
Verificamos que
são linearmente independentes (nenhuma combinação não-trivial dá a matriz zero), portanto formam uma base de
. Como temos três vetores numa base, a dimensão de
é 3.
Resposta
Uma base de
é
e
.