Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
W=(ccx & y z & w) in M2(R), z-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço
W = lx & y z & win M2( R)mid z - y = 0r
Aqui o conteúdo é subespaço de matrizes e vamos precisar parametrizar a condição z-y=0, expressar um elemento de W em termos de parâmetros livres e extrair vetores que formem uma base.

Passo 2

A condição z-y=0 equivale a z=y. Logo, um elemento genérico de W é
x & y z & w = x & y y & w,
onde x, y e w são quaisquer reais. Assim temos três parâmetros livres: x, y e w.

Passo 3

Reescrevendo
x & y y & w = x1&00&0 + y0&11&0 + w0&00&1
Isto mostra que os vetores
E1 = 1&00&0, E2 = 0&11&0, E3 = 0&00&1
geram W.

Passo 4

Verificamos que E1,E2,E3 são linearmente independentes (nenhuma combinação não-trivial dá a matriz zero), portanto formam uma base de W. Como temos três vetores numa base, a dimensão de W é 3.

Resposta

Uma base de W é
1&00&0,, 0&11&0,, 0&00&1,
e dim W = 3.

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