Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços:
W=[(2,1,-2) ;(4,-2,-4)] em R^3;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações lineares homogêneas que definem o subespaço
,W=span(2,1,-2),(4,-2,-4)subsetR^3.
Como dois vetores não são múltiplos, dim W=2 e, em R^3, um subespaço de dimensão 2 é um plano que pode ser descrito por uma única equação linear homogênea.

Passo 2

Para obter essa equação, precisamos de um vetor normal n a W. Esse vetor satisfaz
ncdot(2,1,-2)=0 e ncdot(4,-2,-4)=0
Uma forma direta de achar n é calcular o produto vetorial dos geradores de W.

Passo 3

Calculando o produto vetorial
(2,1,-2)times(4,-2,-4) = i & j & k 2 & 1 & -2 4 & -2 & -4 =(-8,,0,,-8)
Dividindo por -8 para simplificar, obtemos o vetor normal
n=(1,0,1)

Passo 4

A equação linear homogênea que caracteriza W é
ncdot(x,y,z)=0 Longrightarrow 1cdot x+0cdot y+1cdot z=0,
ou seja,
x+z=0

Resposta

x+z=0

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