Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
W=[(ll1 & 3 0 & 1) ;(cc3 & 4 -7 & 2) ;(cc-3 & 1 14 & -1) ;(ll2 & 3 0 & 1)];

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W=l[A1;,A2;,A3;,A4r] subset M2times2(R),
onde
A1=1&30&1,; A2=3&4-7&2,; A3=-3&114&-1,; A4=2&30&1
O conteúdo usado será combinação linear em M2times2, detecção de dependência linear e extração de um conjunto independente que gere W.

Passo 2

Procuramos escalares c1,c2,c3,c4 tais que
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 02times2
Escrevendo entrada a entrada obtemos o sistema
c1 + 3c2 - 3c3 + 2c4 = 0, 3c1 + 4c2 + c3 + 3c4 = 0, -7c2 +14c3 = 0, c1 + 2c2 - c3 + c4 = 0

Passo 3

Da terceira equação vem
-7c2 +14c3=0 Longrightarrow c3 = tfrac12,c2
Substituindo nas outras, das duas equações que envolvem c4 obtemos
c4=0, c1 = -tfrac32,c2
Não surgem mais restrições, logo existe exatamente uma relação não trivial. A única dependência não-trivial é
-3A1 + 2A2 + A3 = 0 Longrightarrow A3 = 3A1 - 2A2

Passo 4

Como A3 é combinação de A1 e A2 e não há coeficiente algum para A4 na relação, os três vetores
,A1,A2,A4 são linearmente independentes e geram W.

Resposta

Uma base de W é
1&30&1,; 3&4-7&2,; 2&30&1 ,
e dim W = 3.

Exercícios relacionados