(a) Encontre as equações das linhas de força do campo E=e^-y(cos x ax-sen x ay).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar as linhas de força do campo
Isso é de Análise Vetorial (campo vetorial e linhas de força). Vamos precisar do fato de que as linhas de força satisfazem
E=e^-yl(cos x,vec ax-sen x,vec ayr)
Daqui pra frente aplicamos isso direitinho.

Passo 2

Primeiro identificamos as componentes:
Pela teoria de linhas de força temos
Repara que o Ex=e^-ycos x, Ey=-e^-ysen x cancelou, deixando dydx =EyEx =-e^-ysen xe^-ycos x =-tan x .

Passo 3

Agora a gente resolve a equação diferencial
dydx=-tan x ;;Longrightarrow;; dy=-tan x,dx
Integramos dos dois lados:
integral dy = -integral tan x,dx
Lembrando que y = -l(-ln|cos x|r) + C = ln|cos x| + C , vem

Resposta

As linhas de força ficam dadas por
y = lnl|cos xr| + C,
ou, de forma equivalente (exponenciando),
e^ycos x = const

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