Seja o campo
V/m na origem. Especifique: (b) um valor de densidade de carga uniforme
sobre uma superficie plana que passa pelo ponto
capaz de produzir
e a equação deste plano.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente achar duas coisas sobre um plano infinito que passa por P(–1, –2, –3):
- A densidade de carga superficial uniforme ρₛ que gera o campo elétrico constante
2) A equação desse plano.
Conteúdo: eletrostática de superfícies carregadas. Vamos usar que um plano infinito com carga superficial σ (aqui ρₛ) produz um campo |\vec E| = |σ|/(2ε₀) em cada lado, na direção do vetor normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a direção normal do plano: um plano carregado gera \vec E na mesma direção (ou oposta) da normal.
- Nosso campo é
. - Então escolhemos o vetor normal não unitário
. - Para simplificar a equação do plano usamos esse
.
Teoria rápida: a equação de um plano com normal
passando por
é
Passo 3
Montando a equação do plano passando por P(–1,–2,–3):
A = 100, B = –50, C = 20 e .
Então
A = 100, B = –50, C = 20 e
Então
Distribuindo:
Podemos dividir tudo por 10 pra ficar mais limpo:
Passo 4
Agora a densidade de carga superficial ρₛ.
Teoria: para um plano infinito, o módulo do campo é
Teoria: para um plano infinito, o módulo do campo é
onde
Calcula-se
Então
O sinal de ρₛ vem de que o campo aponta na direção de
. Como
e
têm o mesmo sentido, ρₛ é positivo:
Resposta
Densidade de carga superficial:
Equação do plano: