Seja o campo E=100 ax-50 ay+20 az V/m na origem. Especifique: (b) um valor de densidade de carga uniforme rhoS sobre uma superficie plana que passa pelo ponto P(-1,-2,-3) capaz de produzir E e a equação deste plano.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar duas coisas sobre um plano infinito que passa por P(–1, –2, –3):
  1. A densidade de carga superficial uniforme ρₛ que gera o campo elétrico constante vec E = 100,vec ax - 50,vec ay + 20,vec az;V/m
    2) A equação desse plano.
    Conteúdo: eletrostática de superfícies carregadas. Vamos usar que um plano infinito com carga superficial σ (aqui ρₛ) produz um campo |\vec E| = |σ|/(2ε₀) em cada lado, na direção do vetor normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a direção normal do plano: um plano carregado gera \vec E na mesma direção (ou oposta) da normal.
  • Nosso campo é A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.
  • Então escolhemos o vetor normal não unitário .
  • Para simplificar a equação do plano usamos esse .
Teoria rápida: a equação de um plano com normal passando por é

Passo 3

Montando a equação do plano passando por P(–1,–2,–3):
A = 100, B = –50, C = 20 e 100,(x+1) ;-;50,(y+2);+;20,(z+3)=0.
Então
100x+100 ;-;50y -100;+;20z+60=0
Distribuindo:
100x -50y +20z +60 =0
10x -5y +2z +6 = 0
Podemos dividir tudo por 10 pra ficar mais limpo:

Passo 4

Agora a densidade de carga superficial ρₛ.
Teoria: para um plano infinito, o módulo do campo é
|vec E| = |ρₛ|2,ε0,
onde |vec E| = raiz100^2 + (-50)^2 + 20^2 = raiz10000 + 2500 + 400 = raiz12900approx113,6;V/m
Calcula-se |ρₛ| = 2,ε0,|vec E| = 2,(8,85times10^-12),(113,6)approx2,01times10^-9;C/m^2:
ρₛ approx +2,0times10^-9;C/m^2
Então
O sinal de ρₛ vem de que o campo aponta na direção de . Como e têm o mesmo sentido, ρₛ é positivo:

Resposta

Densidade de carga superficial:
ρₛ = 2,ε0,raiz100^2 + (-50)^2 + 20^2;approx2,0times10^-9,C/m^2
Equação do plano:
10x - 5y + 2z + 6 = 0

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