Três cargas pontuais estão posicionadas no plano xy como segue: 5 nC em y=5 cm,-10 nC em y=-5 cm, e 15 nC em x=-5 cm. Encontre as coordenadas x e y de uma quarta carga de 20 nC que irá produzir um campo elétrico nulo na origem.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é de eletrostática, usando a Lei de Coulomb pra montar vetores de campo elétrico e fazer a soma vetorial dar zero na origem. Temos 3 cargas dadas e queremos achar onde colocar uma 4ª carga de pra que o campo total no ponto zere. Vamos precisar:
  • A expressão do campo de uma carga pontual:
    ,
  • Decompor cada campo em componentes e ,
  • Somar tudo e igualar a zero.

Passo 2

Primeiro, as cargas fixas e seus campos na origem:
  1. E1 = k,5times10^-9(0,05)^2 = kcdot2times10^-6, E1,y = -,k,2times10^-6 em E2 = k,10times10^-9(0,05)^2 = kcdot4times10^-6, E2,y = +,k,4times10^-6 → vetor aponta de lá pra origem (sentido – E3 = k,15times10^-9(0,05)^2 = kcdot6times10^-6, E3,x = +,k,6times10^-6 ):
  2. em → de lá pra origem (sentido + ):
  3. em → de lá pra origem (sentido + ):

Passo 3

Agora a carga d = raizx^2 + y^2 em E4 = k,20times10^-9d^2 . A distância até a origem é
E4 = E4; (-x,,-y)d = k,20times10^-9d^2;(-x,-y)d = k,20times10^-9,(-x,-y)d^3
O campo que ela gera na origem tem módulo
e direção do ponto pra , ou seja vetor

Passo 4

Pra campo total zero, somamos componentes E3,x + E4,x = 0 Longrightarrow k,6times10^-6 + k,20times10^-9,-xd^3 = 0 ;;Rightarrow;; 20times10^-9,xd^3 = 6times10^-6 ;;Rightarrow;; xd^3 = 300 e E1,y+E2,y+E4,y=0 Longrightarrow l(-2times10^-6+4times10^-6r) +k,20times10^-9,-yd^3=0 separadas:
Componente 2times10^-6 - 20times10^-9,yd^3=0 ;;Rightarrow;; 20times10^-9,yd^3=2times10^-6 ;;Rightarrow;; yd^3=100 :
x = 300,d^3, y = 100,d^3, d^2 = x^2+y^2 = (300^2+100^2),d^6 = 10^5,d^6
Componente :
Então temos o sistema
Isso dá

Passo 5

Agora basta achar d^3 = (0,05623)^3approx1,777times10^-4, e x = 300;d^3approx300times1,777times10^-4approx0,0533 m, y = 100;d^3approx100times1,777times10^-4approx0,0178 m :

Resposta

A carga de x approx 5,33 cm, y approx 1,78 cm, deve ficar em
para o campo elétrico total na origem ser nulo.

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