Encontre as equações de movimento para um projétil de massa
, movendo-se sobre o plano
sob efeito do campo gravitacional. Para isso, considere o formalismo lagrangiano utilizando como coordenadas generalizadas:
Coordenadas cartesianas
.
Coordenadas cartesianas
Passo 1
O enunciado pede as equações de movimento de um projétil de massa
que se move no plano
sob ação apenas da gravidade. Vamos usar o formalismo lagrangiano, que requer (i) escolher coordenadas generalizadas — aqui
e
; (ii) escrever a energia cinética
e a energia potencial
; (iii) montar a lagrangiana
; e (iv) aplicar as equações de Euler–Lagrange.
Passo 2
No plano, a energia cinética é
e sob gravidade constante de módulo
apontando para baixo, podemos usar como potencial
assumindo
medido para cima.
Passo 3
A lagrangiana é
As equações de Euler–Lagrange para cada coordenada
são
Passo 4
Para
:
Para
:
Passo 5
Dividindo por
, obtemos as equações de movimento no formato canônico: