Encontre as equações de movimento para um projétil de massa m, movendo-se sobre o plano x y sob efeito do campo gravitacional. Para isso, considere o formalismo lagrangiano utilizando como coordenadas generalizadas:
Coordenadas cartesianas (x, y).

Passo 1

O enunciado pede as equações de movimento de um projétil de massa m que se move no plano (x,y) sob ação apenas da gravidade. Vamos usar o formalismo lagrangiano, que requer (i) escolher coordenadas generalizadas — aqui x e y; (ii) escrever a energia cinética T e a energia potencial V; (iii) montar a lagrangiana L=T-V; e (iv) aplicar as equações de Euler–Lagrange.

Passo 2

No plano, a energia cinética é
T = \tfrac12\,m\bigl(\dot x^2 + \dot y^2\bigr),
e sob gravidade constante de módulo g apontando para baixo, podemos usar como potencial
V = m\,g\,y,
assumindo y medido para cima.

Passo 3

A lagrangiana é
L = T - V = \tfrac12\,m\bigl(\dot x^2 + \dot y^2\bigr) - m\,g\,y.
As equações de Euler–Lagrange para cada coordenada q\in\{x,y\} são
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Bigr) \;-\;\frac{\partial L}{\partial q} \;=\;0.

Passo 4

Para x:
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\,\dot x, \quad \frac{d}{dt}(m\,\dot x)=m\,\ddot x, \quad \frac{\partial L}{\partial x}=0 \;\Longrightarrow\; m\,\ddot x=0.
Para y:
\frac{\partial L}{\partial \dot y}=m\,\dot y, \quad \frac{d}{dt}(m\,\dot y)=m\,\ddot y, \quad \frac{\partial L}{\partial y}=-m\,g \;\Longrightarrow\; m\,\ddot y + m\,g=0.

Passo 5

Dividindo por m, obtemos as equações de movimento no formato canônico:
\ddot x = 0, \qquad \ddot y = -\,g.

Resposta

\displaystyle \ddot x = 0 e \displaystyle \ddot y = -g.

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