Encontre as equações de movimento para um projétil de massa m, movendo-se sobre o plano x y sob efeito do campo gravitacional. Para isso, considere o formalismo lagrangiano utilizando como coordenadas generalizadas:
Coordenadas polares ( r, \theta ).

Passo 1

O enunciado pede para usar o formalismo lagrangiano em coordenadas polares (r,\theta) para descrever o movimento de um projétil de massa m no plano xy sob a ação da gravidade (que aponta para baixo, ou seja, na direção negativa do eixo y). Vamos precisar:
  1. Expressar as coordenadas cartesianas (x,y) em função de (r,\theta).
  2. Calcular energia cinética T e potencial V.
  3. Montar a lagrangiana L=T-V e aplicar as equações de Lagrange para r e \theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.
A energia cinética é
T = \tfrac12\,m\bigl(\dot x^2 + \dot y^2\bigr) = \tfrac12\,m\bigl(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2\bigr).
A energia potencial gravitacional, tomando V=0 em y=0, é
V = m g\,y = m g\,r\sin\theta.

Passo 3

A lagrangiana é
L = T - V = \tfrac12\,m\bigl(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2\bigr) \;-\; m g\,r\sin\theta.

Passo 4

Para a coordenada r, a equação de Lagrange
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot r}\Bigr) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0
gera
\frac{d}{dt}\bigl(m\dot r\bigr) - \bigl(m\,r\dot\theta^2 - m g\sin\theta\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot r - m\,r\dot\theta^2 + m g\sin\theta = 0.

Passo 5

Para a coordenada \theta, a equação de Lagrange
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta}\Bigr) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0
\frac{d}{dt}\bigl(m\,r^2\dot\theta\bigr) - \bigl(-m g\,r\cos\theta\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(r^2\dot\theta\bigr) + g\,r\cos\theta = 0.

Resposta

As equações de movimento em coordenadas polares são
m\bigl(\ddot r - r\dot\theta^2\bigr) + m g\sin\theta = 0,
\frac{d}{dt}\bigl(r^2\dot\theta\bigr) + g\,r\cos\theta = 0.

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