Encontre as equações de movimento para um projétil de massa
, movendo-se sobre o plano
sob efeito do campo gravitacional. Para isso, considere o formalismo lagrangiano utilizando como coordenadas generalizadas:
Coordenadas polares (
).
Coordenadas polares (
Passo 1
O enunciado pede para usar o formalismo lagrangiano em coordenadas polares
para descrever o movimento de um projétil de massa
no plano
sob a ação da gravidade (que aponta para baixo, ou seja, na direção negativa do eixo
). Vamos precisar:
- Expressar as coordenadas cartesianas
em função de . - Calcular energia cinética
e potencial . - Montar a lagrangiana
e aplicar as equações de Lagrange para e .
Passo 2
Em coordenadas polares temos
A energia cinética é
A energia potencial gravitacional, tomando
em
, é
Passo 3
A lagrangiana é
Passo 4
Para a coordenada
, a equação de Lagrange
gera
Passo 5
Para a coordenada
, a equação de Lagrange
dá
Resposta
As equações de movimento em coordenadas polares são