Use derivada para determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir de cada uma das posições abaixo:
(b) x(t)=-\frac{1}{4} t^{4}+3 t

Passo 1

O enunciado pede para usar derivadas a fim de obter a velocidade v(t) e a aceleração a(t) a partir da função posição
x(t) = -\tfrac{1}{4}\,t^{4} + 3\,t.
O conteúdo principal aqui é o conceito de derivada: a velocidade é a primeira derivada de x(t) e a aceleração é a segunda derivada de x(t).

Passo 2

Para encontrar a velocidade, calculamos a derivada de x(t) em relação a t. Usando a regra de potência,
\frac{d}{dt}\bigl(-\tfrac{1}{4}t^{4}\bigr) = -\tfrac{1}{4}\cdot 4\,t^{3} = -t^{3}, \quad \frac{d}{dt}(3t) = 3.
Logo,
v(t) = x'(t) = -t^{3} + 3.

Passo 3

Para obter a aceleração, derivamos v(t):
\frac{d}{dt}(-t^{3}) = -3\,t^{2}, \quad \frac{d}{dt}(3) = 0.
Portanto,
a(t) = v'(t) = -3\,t^{2}.

Resposta

v(t) = -t^{3} + 3 a(t) = -3\,t^{2}

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