Encontre as equações das parábolas cuja reta focal é paralela a um dos eixos coordenados, tem vértice no ponto V=(2,1) e parâmetro 2 p=3, sendo umas das coordenadas maior que 2 . Mostre que o outro ponto onde as parábolas intersectam-se pertence à reta x-y-1=0.

Passo 1

O enunciado pede as parábolas de vértice V=(2,1), parâmetro 2p=3 (ou seja p=3/2) e cuja reta focal (diretriz) é paralela a um dos eixos coordenados. Para isso usamos as formas canônicas:
– Se a diretriz é paralela ao eixo x, o eixo da parábola é vertical e a equação é
,(x-h)^2=4p,(y-k),,
onde (h,k) é o vértice e p mede a distância foco–vértice.
– Se a diretriz é paralela ao eixo y, o eixo da parábola é horizontal e a equação é
,(y-k)^2=4p,(x-h),

Passo 2

Para diretriz paralela ao eixo x temos vértice (h,k)=(2,1) e 4p=4cdot32=6. Logo a parábola é
,(x-2)^2=6,(y-1),
Como p>0, ela abre para cima (isto garante pontos com coordenada y>1, em particular parte deles terá y>2).

Passo 3

Para diretriz paralela ao eixo y usamos novamente (h,k)=(2,1) e 4p=6, obtendo
,(y-1)^2=6,(x-2),
Aqui abre para a direita (o que faz x>=2, logo há pontos com x>2).

Passo 4

Para achar os pontos de interseção resolvemos o sistema
(x-2)^2=6,(y-1), (y-1)^2=6,(x-2)
Subtraindo a segunda da primeira:
(x-2)^2-(y-1)^2 =6,(y-1)-6,(x-2) =-6,(x-y-1)
No lado esquerdo fatoramos diferença de quadrados:
(x-y-1),(x+y-3) =-6,(x-y-1) ;Longrightarrow; (x-y-1),l(x+y-3+6r)=0 ;Longrightarrow; (x-y-1),(x+y+3)=0

Passo 5

Qualquer ponto de interseção satisfaz (x-y-1)(x+y+3)=0. O vértice (2,1) já verifica x-y-1=0, e o outro ponto de interseção, para se ajustar ao ramo com coordenada maior que 2, não pode estar em x+y+3=0. Logo fica em
x-y-1=0

Resposta

(x-2)^2=6,(y-1)
(y-1)^2=6,(x-2)
e o outro ponto de interseção satisfaz x-y-1=0.

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