Encontre as equações das parábolas cuja reta focal é paralela a um dos eixos coordenados, tem vértice no ponto
e parâmetro
, sendo umas das coordenadas maior que 2 . Mostre que o outro ponto onde as parábolas intersectam-se pertence à reta
.
Passo 1
O enunciado pede as parábolas de vértice
, parâmetro
(ou seja
) e cuja reta focal (diretriz) é paralela a um dos eixos coordenados. Para isso usamos as formas canônicas:
– Se a diretriz é paralela ao eixo , o eixo da parábola é vertical e a equação é
– Se a diretriz é paralela ao eixo
onde
é o vértice e
mede a distância foco–vértice.
– Se a diretriz é paralela ao eixo , o eixo da parábola é horizontal e a equação é
– Se a diretriz é paralela ao eixo
Passo 2
Para diretriz paralela ao eixo
temos vértice
e
. Logo a parábola é
Como
, ela abre para cima (isto garante pontos com coordenada
, em particular parte deles terá
).
Passo 3
Para diretriz paralela ao eixo
usamos novamente
e
, obtendo
Aqui abre para a direita (o que faz
, logo há pontos com
).
Passo 4
Para achar os pontos de interseção resolvemos o sistema
Subtraindo a segunda da primeira:
No lado esquerdo fatoramos diferença de quadrados:
Passo 5
Qualquer ponto de interseção satisfaz
. O vértice
já verifica
, e o outro ponto de interseção, para se ajustar ao ramo com coordenada maior que
, não pode estar em
. Logo fica em
Resposta
e o outro ponto de interseção satisfaz