(Requer Cálculo) Seja D: P3 P2 a transformação de derivação D(p)=p^prime(x). Descreva o núcleo de D.

Passo 1

O enunciado define Dcolon P3to P2 como a transformação que leva cada polinômio p(x) de grau até 3 ao seu derivado p'(x). O que precisamos é descrever o núcleo de D, ou seja, todos os polinômios em P3 que são levados ao polinômio zero.

Passo 2

Por definição, o núcleo de uma transformação linear D é o conjunto
ker(D)=,pin P3mid D(p)=0
No nosso caso, isto equivale a
ker(D)=,pin P3mid p'(x)=0 para todo x

Passo 3

Seja um polinômio genérico em P3:
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d,
com a,b,c,dinR. A derivada é
p'(x)=3a x^2+2b x+c
Para que p'(x) seja o polinômio zero, todos os coeficientes devem ser nulos:
3a=0, 2b=0, c=0
logo a=0, b=0 e c=0.

Resposta

O núcleo de D é o conjunto dos polinômios constantes, isto é,
ker(D)=,dmid dinR=span1

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