Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
e foco no ponto ( 0,3 );
e foco no ponto ( 0,3 );
Passo 1
O enunciado pede a parábola com vértice em
e foco em
. O conteúdo aqui é a definição geométrica de parábola: o lugar geométrico dos pontos
que estão à mesma distância do foco e da reta diretiz. Vamos usar essa definição para obter a equação e, em seguida, extrair seu foco, diretiz, eixo de simetria e parâmetro focal.
Passo 2
Como o foco está em
e o vértice em
, identificamos o parâmetro focal
e vemos que a parábola abre para cima, pois o foco está acima do vértice.
Passo 3
A reta diretiz, por definição, fica a distância
do vértice, mas no sentido oposto ao foco. Logo, a diretiz é
Para um ponto genérico
, as distâncias são:
distância ao foco :
,
distância à diretiz :
.
Pela definição de parábola, igualamos essas distâncias:
distância ao foco
distância à diretiz
Pela definição de parábola, igualamos essas distâncias:
Passo 4
Elevando ao quadrado e simplificando:
Cancelando
e
de ambos os lados, vem
Passo 5
Portanto, a equação da parábola é
Passo 6
Confirmando os principais elementos:
– Vértice: (dado).
– Foco: (dado).
– Diretiz: .
– Eixo de simetria: reta .
– Vértice:
– Foco:
– Diretiz:
– Eixo de simetria: reta
Passo 7
O parâmetro focal é
, então o comprimento do comprimento focal (latus rectum) é
. Essa corda focal é dada por
com extremidades em
e
.
Resposta
Equação:
Principais elementos:
vértice , foco
, diretiz
, eixo de simetria
, latus rectum em
com extremos
e
.
vértice