Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
e foco no ponto ( 0,3 );

Passo 1

O enunciado pede a parábola com vértice em (0,0) e foco em (0,3). O conteúdo aqui é a definição geométrica de parábola: o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que estão à mesma distância do foco e da reta diretiz. Vamos usar essa definição para obter a equação e, em seguida, extrair seu foco, diretiz, eixo de simetria e parâmetro focal.

Passo 2

Como o foco está em (0,3) e o vértice em (0,0), identificamos o parâmetro focal
p=3,
e vemos que a parábola abre para cima, pois o foco está acima do vértice.

Passo 3

A reta diretiz, por definição, fica a distância p do vértice, mas no sentido oposto ao foco. Logo, a diretiz é
y=-3
Para um ponto genérico P(x,y), as distâncias são:
distância ao foco (0,3): raiz(x-0)^2+(y-3)^2,
distância à diretiz y=-3: |y-(-3)|=y+3.
Pela definição de parábola, igualamos essas distâncias:
raizx^2+(y-3)^2=y+3

Passo 4

Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2+(y-3)^2=(y+3)^2
x^2+y^2-6y+9 ;=; y^2+6y+9
Cancelando y^2 e 9 de ambos os lados, vem
x^2-6y=6y Longrightarrow x^2=12y

Passo 5

Portanto, a equação da parábola é
x^2=12y

Passo 6

Confirmando os principais elementos:
– Vértice: (0,0) (dado).
– Foco: (0,3) (dado).
– Diretiz: y=-3.
– Eixo de simetria: reta x=0.

Passo 7

O parâmetro focal é p=3, então o comprimento do comprimento focal (latus rectum) é 4p=12. Essa corda focal é dada por
y=3,
com extremidades em l(-6,3r) e l(6,3r).

Resposta

Equação:
x^2=12y
Principais elementos:
vértice (0,0), foco (0,3), diretiz y=-3, eixo de simetria x=0, latus rectum em y=3 com extremos (-6,3) e (6,3).

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