Encontre as equações paramétricas e cartesiana do plano pi que passa pelos pontos A=(1,0,2), B= (1,2,3) e C=(0,1,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano pi que passa pelos pontos
A=(1,0,2), B=(1,2,3), C=(0,1,2)
O conteúdo é geometria analítica de plano em R^3. Para resolver, vamos achar dois vetores diretores no plano e depois o vetor normal para montar a forma cartesiana.

Passo 2

Calcular vetores diretores AB e AC:
AB = B - A = (1-1,;2-0,;3-2) = (0,2,1),
AC = C - A = (0-1,;1-0,;2-2) = (-1,1,0)

Passo 3

Usamos A como ponto-base e AB,AC como diretores. Com parâmetros s,tinR, toda X=(x,y,z) em pi é
X = A + s,AB + t,AC,
logo as equações paramétricas são
x = 1 + 0cdot s + (-1)cdot t = 1 - t, y = 0 + 2,s + 1cdot t = 2s + t, z = 2 + 1cdot s + 0cdot t = 2 + s

Passo 4

Para a forma cartesiana, calculamos o vetor normal n = AB times AC.
n = i & j & k 0 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 = (-1,,-1,,2)

Passo 5

Usamos ncdotl((x,y,z)-Ar)=0:
-1(x-1)-1(y-0)+2(z-2)=0
-,x+1 -y +2z -4=0 Longrightarrow x + y - 2z + 3 = 0

Resposta

Equações paramétricas:
x = 1 - t, y = 2s + t, z = 2 + s, s,tinR
Equação cartesiana:
x + y - 2z + 3 = 0

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