Seja o plano
dado pelas equações paramétricas:
e
.
(a) Identifique um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores não colineares.
(b) Obtenha um vetor normal ao plano
.
(c) Encontre a equação cartesiana do plano
.
(a) Identifique um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores não colineares.
(b) Obtenha um vetor normal ao plano
(c) Encontre a equação cartesiana do plano
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas do plano
:
com
.
As perguntas são:
(a) identificar um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores não colineares;
(b) obter um vetor normal ao plano ;
(c) encontrar a equação cartesiana do plano .
As perguntas são:
(a) identificar um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores não colineares;
(b) obter um vetor normal ao plano
(c) encontrar a equação cartesiana do plano
Passo 2
Encontrar um ponto do plano: basta escolher valores para os parâmetros
e
. Uma escolha simples é
e
. Substituindo:
Portanto um ponto do plano é
.
Breve explicação (didática): tomar
é como pedir onde a parametrização “começa” — o ponto base quando os parâmetros são nulos. Sempre que houver parâmetros lineares assim, esse ponto é uma boa escolha simples.
Passo 3
Obter vetores diretores: ao ver uma parametrização
linear em
e
, os vetores multiplicando
e
são vetores diretores do plano. Escrevendo a posição como vetor:
Assim os vetores diretores são
Explicação (didática): os vetores diretores mostram como a posição muda quando variamos apenas um parâmetro. Eles geram todas as direções contidas no plano.
Passo 4
Verificar que
e
não são colineares: se fossem colineares existiria
tal que
. Comparando componentes,
mas então na segunda componente seria
, o que é falso. Logo não são colineares. Portanto são dois vetores diretores independentes do plano.
Passo 5
Obter um vetor normal: o vetor normal
a um plano pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) de dois vetores diretores do plano. Relembrando a definição: para
e
,
Aqui tomamos
e
. Calculando componente a componente:
Portanto
Didática curta: o produto vetorial dá um vetor perpendicular a ambos os vetores; qualquer múltiplo não nulo desse vetor também é um normal válido. Podemos simplificar dividindo por
:
que é um vetor normal mais simples.]
Passo 6
Encontrar a equação cartesiana do plano: a forma ponto-normal de um plano é
onde
é um vetor normal e
é um ponto do plano. Aqui usamos
e
. Substituindo:
Simplificando os termos:
Passo 7
Verificação (útil na prova): substituir as parametrizações para checar que a equação cartesiana é satisfeita:
Calculando:
logo a equação
é satisfeita para todos
, confirmando que está correta.
Resposta
(a) Um ponto:
. Dois vetores diretores:
e
.
(b) Um vetor normal: .
(c) Equação cartesiana: .
(b) Um vetor normal:
(c) Equação cartesiana: