Seja o plano \pi dado pelas equações paramétricas: x=1+t-s, y=2 t+s e z=-1+t+2 s(t, s \in \mathbb{R}).
(a) Identifique um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores não colineares.
(b) Obtenha um vetor normal ao plano \pi.
(c) Encontre a equação cartesiana do plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas do plano \pi:
x = 1 + t - s,\qquad y = 2t + s,\qquad z = -1 + t + 2s,
com t,s\in\mathbb{R}.
As perguntas são:
(a) identificar um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores não colineares;
(b) obter um vetor normal ao plano \pi;
(c) encontrar a equação cartesiana do plano \pi.

Passo 2

Encontrar um ponto do plano: basta escolher valores para os parâmetros t e s. Uma escolha simples é t=0 e s=0. Substituindo:
x=1+0-0=1,\qquad y=2\cdot0+0=0,\qquad z=-1+0+0=-1.
Portanto um ponto do plano é P_0=(1,0,-1).
Breve explicação (didática): tomar t=0,s=0 é como pedir onde a parametrização “começa” — o ponto base quando os parâmetros são nulos. Sempre que houver parâmetros lineares assim, esse ponto é uma boa escolha simples.

Passo 3

Obter vetores diretores: ao ver uma parametrização (x,y,z) = \vec{r}(t,s) linear em t e s, os vetores multiplicando t e s são vetores diretores do plano. Escrevendo a posição como vetor:
\vec{r}(t,s)=\bigl(1+t-s,\;2t+s,\;-1+t+2s\bigr)=\bigl(1,0,-1\bigr)+t\,(1,2,1)+s\,(-1,1,2).
Assim os vetores diretores são
\vec{v}_1 = (1,2,1)\quad\text{(coeficiente de \(t\))},
\vec{v}_2 = (-1,1,2)\quad\text{(coeficiente de \(s\))}.
Explicação (didática): os vetores diretores mostram como a posição muda quando variamos apenas um parâmetro. Eles geram todas as direções contidas no plano.

Passo 4

Verificar que \vec{v}_1 e \vec{v}_2 não são colineares: se fossem colineares existiria \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{v}_1=\lambda\vec{v}_2. Comparando componentes,
1 = \lambda(-1)\\ \Rightarrow\\ \lambda=-1,
mas então na segunda componente seria 2=\lambda\cdot1=-1, o que é falso. Logo não são colineares. Portanto são dois vetores diretores independentes do plano.

Passo 5

Obter um vetor normal: o vetor normal \vec{n} a um plano pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) de dois vetores diretores do plano. Relembrando a definição: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aqui tomamos \vec{a}=\vec{v}_1=(1,2,1) e \vec{b}=\vec{v}_2=(-1,1,2). Calculando componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& a_2b_3-a_3b_2 = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 4-1 = 3,\\[4pt] \text{2ª componente: }& a_3b_1-a_1b_3 = 1\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -1-2 = -3,\\[4pt] \text{3ª componente: }& a_1b_2-a_2b_1 = 1\cdot 1 - 2\cdot(-1) = 1 -(-2) = 3. \end{aligned}ªªª
Portanto
\vec{n}=\vec{v}_1\times\vec{v}_2=(3,-3,3).
Didática curta: o produto vetorial dá um vetor perpendicular a ambos os vetores; qualquer múltiplo não nulo desse vetor também é um normal válido. Podemos simplificar dividindo por 3:
\vec{n}=(1,-1,1)
que é um vetor normal mais simples.]

Passo 6

Encontrar a equação cartesiana do plano: a forma ponto-normal de um plano é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,
onde \vec{n}=(A,B,C) é um vetor normal e (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano. Aqui usamos \vec{n}=(1,-1,1) e P_0=(1,0,-1). Substituindo:
1\cdot(x-1) + (-1)\cdot(y-0) + 1\cdot(z-(-1)) = 0.
Simplificando os termos:
x-1 - y + z +1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y + z = 0.

Passo 7

Verificação (útil na prova): substituir as parametrizações para checar que a equação cartesiana é satisfeita:
x-y+z=(1+t-s)-(2t+s)+(-1+t+2s).
Calculando:
1+t-s-2t-s-1+t+2s = (1-1)+(t-2t+t)+(-s-s+2s)=0+0+0=0,
logo a equação x-y+z=0 é satisfeita para todos t,s, confirmando que está correta.

Resposta

(a) Um ponto: (1,0,-1). Dois vetores diretores: \vec{v}_1=(1,2,1) e \vec{v}_2=(-1,1,2).
(b) Um vetor normal: \vec{n}=(1,-1,1).
(c) Equação cartesiana: x - y + z = 0.

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