Encontre as equações paramétricas da reta
que passa por
e é perpendicular ao plano
.
(a) Encontre as equações paramétricas da reta. ( R .:
.)
(b) Em que ponto essa reta intercepta o plano
? (
.)
(a) Encontre as equações paramétricas da reta. ( R .:
(b) Em que ponto essa reta intercepta o plano
Passo 1
O enunciado dá o ponto
e o plano
. As perguntas são:
- (a) Encontrar as equações paramétricas da reta
que passa por e é perpendicular ao plano . - (b) Determinar em que ponto essa reta intercepta o plano
(ou seja, o plano definido por ).
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Entendendo a relação entre reta perpendicular a um plano e o vetor normal do plano (aulas rápidas, sem medo): se uma reta é perpendicular a um plano, então a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano vem diretamente dos coeficientes da equação do plano
: o vetor normal é
.
Aplicando isso ao plano
, os coeficientes são
,
,
. Portanto o vetor normal (e, por consequência, a direção da reta) é
Passo 3
Como escrever uma reta por parâmetro (a fórmula que você precisa decorar e aplicar): dado um ponto
e um vetor direção
, as equações paramétricas da reta são
onde
é o parâmetro real. Aqui
dá o ponto
, mudar
desliza ao longo da reta na direção de
.
Explicando cada símbolo:
são as coordenadas de um ponto qualquer da reta;
são as coordenadas do ponto inicial conhecido;
são as componentes do vetor direção;
é o parâmetro que varre a reta.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com
e
. Substituindo:
Essas são as equações paramétricas da reta
. Verificação rápida e intuitiva: para
obtemos
, que é mesmo
.
Passo 5
Parte (b): intercepto com o plano
. O plano
é dado por
. Usamos a equação paramétrica de
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com
calculamos
e
:
e já temos
por construção. Portanto o ponto de interseção é
.
Uma checagem bacana: o vetor que vai de
até esse ponto é
que é
vezes
, ou seja, está na direção do vetor normal — coerente com a reta ser perpendicular ao plano.