Encontre as equações paramétricas da reta r que passa por P_{0}(2,4,6) e é perpendicular ao plano \pi:-x-y+3 z=7.
(a) Encontre as equações paramétricas da reta. ( R .: x=2-t, y=4-t, z=6+3 t.)
(b) Em que ponto essa reta intercepta o plano x y ? ( \mathrm{R} .:(4,6,0).)

Passo 1

O enunciado dá o ponto P_{0}(2,4,6) e o plano \pi:-x-y+3z=7. As perguntas são:
  1. (a) Encontrar as equações paramétricas da reta r que passa por P_{0} e é perpendicular ao plano \pi.
  2. (b) Determinar em que ponto essa reta intercepta o plano xy (ou seja, o plano definido por z=0).
Informações relevantes dadas:
P_{0}=(2,4,6)
\pi:\,-x-y+3z=7

Passo 2

Entendendo a relação entre reta perpendicular a um plano e o vetor normal do plano (aulas rápidas, sem medo): se uma reta é perpendicular a um plano, então a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano vem diretamente dos coeficientes da equação do plano ax+by+cz=d: o vetor normal é (a,b,c).
Aplicando isso ao plano \pi, os coeficientes são a=-1, b=-1, c=3. Portanto o vetor normal (e, por consequência, a direção da reta) é
\vec{n}=(-1,-1,3).

Passo 3

Como escrever uma reta por parâmetro (a fórmula que você precisa decorar e aplicar): dado um ponto P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) e um vetor direção \vec{v}=(a,b,c), as equações paramétricas da reta são
x = x_{0} + a t,\qquad y = y_{0} + b t,\qquad z = z_{0} + c t,
onde t é o parâmetro real. Aqui t=0 dá o ponto P_{0}, mudar t desliza ao longo da reta na direção de \vec{v}.
Explicando cada símbolo: x,y,z são as coordenadas de um ponto qualquer da reta; x_{0},y_{0},z_{0} são as coordenadas do ponto inicial conhecido; a,b,c são as componentes do vetor direção; t é o parâmetro que varre a reta.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com P_{0}=(2,4,6) e \vec{v}=\vec{n}=(-1,-1,3). Substituindo:
x = 2 + (-1)\,t = 2 - t,
y = 4 + (-1)\,t = 4 - t,
z = 6 + 3\,t.
Essas são as equações paramétricas da reta r. Verificação rápida e intuitiva: para t=0 obtemos x=2,y=4,z=6, que é mesmo P_{0}.

Passo 5

Parte (b): intercepto com o plano xy. O plano xy é dado por z=0. Usamos a equação paramétrica de z:
6 + 3t = 0.
Resolvendo para t:
3t = -6 \implies t = -2.

Passo 6

Com t=-2 calculamos x e y:
x = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4,
y = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6,
e já temos z=0 por construção. Portanto o ponto de interseção é (4,6,0).
Uma checagem bacana: o vetor que vai de P_{0} até esse ponto é
(4-2,\,6-4,\,0-6) = (2,2,-6),
que é -2 vezes (-1,-1,3), ou seja, está na direção do vetor normal — coerente com a reta ser perpendicular ao plano.

Resposta

x=2-t,\;y=4-t,\;z=6+3t.
(4,6,0)

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