Dada a equação
, identifique conforme os valores do parâmetro
. (R.: Basta analisar para quais valores de
temos
positivo, negativo e nulo.)
Passo 1
O enunciado dá a superfície determinada pela equação
e pede para identificar que tipo de superfície obtemos conforme os valores do parâmetro
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- As variáveis da superfície são
, e (coordenadas no espaço tridimensional). - O parâmetro é
, que assumimos ser um número real. - A única dependência de
está no coeficiente do termo , que é . - O enunciado já sugere a pista: basta analisar os casos em que
é positivo, nulo ou negativo.
Passo 2
Ideia geral (sem ainda resolver): superfícies quádricas com termos apenas em
e sem termos mistos são do tipo elipsoide, cilindro circular ou hiperboloide, dependendo dos sinais dos coeficientes. Vou explicar isso devagarinho.
O que significam os sinais dos coeficientes?
- Se todos os coeficientes multiplicando
forem positivos, a equação do tipo descreve um elipsoide (se é uma esfera). - Se um coeficiente for zero, por exemplo
, a equação reduz-se a que não depende de : é um cilindro (neste caso, cilindro circular com eixo paralelo a ). - Se um coeficiente tiver sinal oposta aos outros dois (dois positivos e um negativo), obtemos um hiperboloide. Para a forma
as seções por planos horizontais são círculos de raio , o que gera um hiperboloide do tipo de uma folha só (hiperboloide de uma folha, contínuo ao longo de ).
Passo 3
Agora aplico essa ideia ao nosso caso, definindo
Assim a equação fica
Vou examinar os três casos pedidos:
,
e
. Lembrete:
,
,
.
Passo 4
Caso
(ou seja,
).
Aqui temos
Colocando em forma padrão de elipsoide, escrevemos
Isso mostra que os semi-eixos do elipsoide são
Como os coeficientes de
e
são iguais, a superfície é um elipsoide de revolução em torno do eixo
(chamado de esferoide). Em particular, se
(ou seja,
) obtemos
que é a esfera de raio
. Se
(caso genérico com
e
), temos um esferoide prolato (o eixo
é maior que os outros dois) — detalhe: o nome prolato/oblato depende se o eixo de revolução é maior ou menor; aqui, como
quando
, é prolato.
Passo 5
Caso
(ou seja,
).
Aqui o coeficiente de
some e a equação reduz-se a
Essa equação não contém
, portanto cada seção para um valor fixo de
é o mesmo círculo de raio
. Geometricamente isso é um cilindro circular de raio
com eixo paralelo ao eixo
. Em termos simples: é o cilindro reto circular cuja geratriz é a direção
e cuja base é o círculo
.
Passo 6
Caso
(ou seja,
).
Agora escrevemos
com
. A equação fica
Definindo
, temos
Para um plano
a seção é
um círculo de raio
. Esse raio é sempre
e cresce com
, e a superfície é conectada (não se separa em duas partes). Geometricamente isso corresponde a um hiperboloide de uma folha (hiperboloide de revolução em torno do eixo
). Um exemplo numérico: se
então
e a equação é
, que é um hiperboloide de uma folha.
Passo 7
Resumo final (tipo de superfície por intervalo de
), reforçando a simetria:
- A equação é sempre de revolução em torno do eixo
porque os coeficientes de e são iguais. - Os três casos cobrem todas as possibilidades reais para
.