Dada a equação x^{2}+y^{2}+\left(1-k^{2}\right) z^{2}=1, identifique conforme os valores do parâmetro k. (R.: Basta analisar para quais valores de k temos 1-k^{2} positivo, negativo e nulo.)

Passo 1

O enunciado dá a superfície determinada pela equação
x^{2}+y^{2}+\left(1-k^{2}\right) z^{2}=1
e pede para identificar que tipo de superfície obtemos conforme os valores do parâmetro k.
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis da superfície são x, y e z (coordenadas no espaço tridimensional).
  • O parâmetro é k, que assumimos ser um número real.
  • A única dependência de k está no coeficiente do termo z^{2}, que é 1-k^{2}.
  • O enunciado já sugere a pista: basta analisar os casos em que 1-k^{2} é positivo, nulo ou negativo.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda resolver): superfícies quádricas com termos apenas em x^{2},y^{2},z^{2} e sem termos mistos são do tipo elipsoide, cilindro circular ou hiperboloide, dependendo dos sinais dos coeficientes. Vou explicar isso devagarinho.
O que significam os sinais dos coeficientes?
  • Se todos os coeficientes multiplicando x^{2},y^{2},z^{2} forem positivos, a equação do tipo A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1\quad\text{com }A,B,C>0descreve um elipsoide (se A=B=C é uma esfera).
  • Se um coeficiente for zero, por exemplo C=0, a equação reduz-se a A x^{2}+B y^{2}=1,que não depende de z: é um cilindro (neste caso, cilindro circular com eixo paralelo a z).
  • Se um coeficiente tiver sinal oposta aos outros dois (dois positivos e um negativo), obtemos um hiperboloide. Para a forma x^{2}+y^{2}-\alpha z^{2}=1\quad(\alpha>0),as seções por planos horizontais z=\text{const} são círculos de raio \sqrt{1+\alpha z^{2}}, o que gera um hiperboloide do tipo de uma folha só (hiperboloide de uma folha, contínuo ao longo de z).

Passo 3

Agora aplico essa ideia ao nosso caso, definindo
a:=1-k^{2}.
Assim a equação fica
x^{2}+y^{2}+a z^{2}=1.
Vou examinar os três casos pedidos: a>0, a=0 e a<0. Lembrete: \,a>0\iff 1-k^{2}>0\iff |k|<1, \,a=0\iff |k|=1, \,a<0\iff |k|>1.

Passo 4

Caso \,a>0 (ou seja, |k|<1).
Aqui temos
x^{2}+y^{2}+a z^{2}=1\quad\text{com }a>0.
Colocando em forma padrão de elipsoide, escrevemos
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{1/a}=1.
Isso mostra que os semi-eixos do elipsoide são
1,\quad 1,\quad \frac{1}{\sqrt{a}}.
Como os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais, a superfície é um elipsoide de revolução em torno do eixo z (chamado de esferoide). Em particular, se a=1 (ou seja, k=0) obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,
que é a esfera de raio 1. Se 0<a<1 (caso genérico com |k|<1 e k\neq 0), temos um esferoide prolato (o eixo z é maior que os outros dois) — detalhe: o nome prolato/oblato depende se o eixo de revolução é maior ou menor; aqui, como \tfrac{1}{\sqrt{a}}>1 quando 0<a<1, é prolato.

Passo 5

Caso \,a=0 (ou seja, |k|=1).
Aqui o coeficiente de z^{2} some e a equação reduz-se a
x^{2}+y^{2}=1.
Essa equação não contém z, portanto cada seção para um valor fixo de z é o mesmo círculo de raio 1. Geometricamente isso é um cilindro circular de raio 1 com eixo paralelo ao eixo z. Em termos simples: é o cilindro reto circular cuja geratriz é a direção z e cuja base é o círculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 6

Caso \,a<0 (ou seja, |k|>1).
Agora escrevemos a=-(k^{2}-1) com k^{2}-1>0. A equação fica
x^{2}+y^{2}-(k^{2}-1)z^{2}=1.
Definindo \beta:=k^{2}-1>0, temos
x^{2}+y^{2}-\beta z^{2}=1.
Para um plano z=\text{const} a seção é
x^{2}+y^{2}=1+\beta z^{2},
um círculo de raio \sqrt{1+\beta z^{2}}. Esse raio é sempre \ge 1 e cresce com |z|, e a superfície é conectada (não se separa em duas partes). Geometricamente isso corresponde a um hiperboloide de uma folha (hiperboloide de revolução em torno do eixo z). Um exemplo numérico: se k=2 então \beta=3 e a equação é x^{2}+y^{2}-3z^{2}=1, que é um hiperboloide de uma folha.

Passo 7

Resumo final (tipo de superfície por intervalo de k), reforçando a simetria:
  • A equação é sempre de revolução em torno do eixo z porque os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais.
  • Os três casos cobrem todas as possibilidades reais para k.

Resposta

|k|<1 \Rightarrow elipsoide de revolução (esferoide); em particular k=0 dá a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.\n
|k|=1 \Rightarrow cilindro circular reto x^{2}+y^{2}=1 (eixo paralelo a z).\n
|k|>1 \Rightarrow hiperboloide de uma folha (de revolução) x^{2}+y^{2}-(k^{2}-1)z^{2}=1.

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