Sejam os pontos P_{1}(2,3,1), P_{2}(4,1,5), P_{3}(1,2,3), P_{4}(3,1,4) e P_{5}(2,4,1).
(a) Obtenha as equações paramétricas da reta que passa por P_{1} e P_{2} .(\mathrm{R}: x=2+t, y=3-t, z= 1+2 t.)
(b) Encontre a equação escalar do plano que passa por P_{3}, P_{4} e P_{5}. (\mathrm{R} .: y+z-5=0 )
(c) Verifique se a reta do item (a) e a reta r_{2} com equações paramétricas
r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1-t \\\ y=-5+3 t \\\ z=10-3 t \end{array}\right.
interceptam o plano do item (b). (R.: Reta do item (a) intercepta em (3,2,3), para t=1. A reta r_{2} intercepta em infinitos pontos, ou seja, r_{2} está contida no plano.)
Nenhuma resolução será feita neste passo — apenas identifiquei os dados e as questões.]
Passo 2
(a) Como obter as equações paramétricas de uma reta que passa por dois pontos: regra prática.
Uma reta pode ser escrita na forma
\vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde [\vec{r_0}) é um ponto da reta (vetor posição de um ponto) e \vec{v} é um vetor diretor da reta. Se temos dois pontos P_1 e P_2, um vetor diretor é \vec{v}=P_2-P_1.
Calculemos \vec{v}:
\vec{v}=P_2-P_1=(4-2,\;1-3,\;5-1)=(2,-2,4).
Podemos simplificar o vetor diretor dividindo por 2, obtendo (1,-1,2) — isso é só para ter parâmetros mais simples (qualquer múltiplo não muda a reta).
Escolhemos \vec{r_0}=P_1=(2,3,1). Assim a forma vetorial é
\vec{r}(t)=(2,3,1)+t(1,-1,2).
Escrevendo em equações paramétricas (separando as coordenadas):
Verificação rápida: para t=0\] obtemos \(P_1; para t=2 obtemos 2+(2)=4,\;3-2=1,\;1+4=5 que é P_2. Perfeito.]
Passo 3
(b) Plano determinado por três pontos: ideia e fórmulas.
Um plano pode ser descrito pela equação escalar
ax+by+cz+d=0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano. Para obter esse normal usamos dois vetores contidos no plano (obtidos subtraindo coordenadas dos pontos) e fazemos o produto vetorial (cross product) entre eles — o resultado é perpendicular a ambos, logo é normal ao plano.
Calculemos dois vetores no plano usando P_3 como referência:
\vec{u}=P_4-P_3=(3-1,\;1-2,\;4-3)=(2,-1,1),
\vec{w}=P_5-P_3=(2-1,\;4-2,\;1-3)=(1,2,-2).
Agora o produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{w}. Façamos componente a componente (determinante 3×3):
Componente x (coeficiente de \mathbf{i}): (-1)(-2)-1\cdot 2 = 2-2=0.
Componente y (com sinal trocado ao calcular determinante): -\big(2(-2)-1\cdot 1\big)=-(-4-1)=5.
Componente z: 2\cdot 2-(-1)\cdot 1=4+1=5.
Logo
\vec{n}=(0,5,5).
Podemos simplificar dividindo por 5 e usar \vec{n}=(0,1,1) como normal equivalente.
A equação do plano com normal (0,1,1) passando por P_3(1,2,3) é obtida por
0(x-1)+1(y-2)+1(z-3)=0.
Isso simplifica para
y-2+z-3=0 \quad\Longrightarrow\quad y+z-5=0.
Verificação: substituindo P_4: 1+4-5=0; substituindo P_5: 4+1-5=0. Ambos satisfazem, portanto a equação está correta.]
Passo 4
(c) Interseção da reta do item (a) com o plano y+z-5=0.
Pegamos as equações paramétricas da reta (item (a)):
x=2+t,\quad y=3-t,\quad z=1+2t.
Substituímos y e z na equação do plano:
(3-t)+(1+2t)-5=0.
Resolva a equação:
3 - t + 1 + 2t -5 =0 \quad\Longrightarrow\quad (3+1-5)+( -t+2t)=0 \quad\Longrightarrow\quad -1 + t =0.
Logo t=1.
Substituindo t=1 nas paramétricas da reta:
x=2+1=3,\quad y=3-1=2,\quad z=1+2\cdot 1=3.
Portanto a reta do item (a) intercepta o plano no ponto (3,2,3).
Passo 5
(c) Verificação da reta r_2\) com equações
\[\begin{cases} x=1-t\\[4pt] y=-5+3t\\[4pt] z=10-3t \end{cases}
entrou no plano (y+z-5=0].
Substituímos y e z na equação do plano:
(-5+3t) + (10-3t) -5 = -5+3t+10-3t-5 = 0.
A expressão reduz a 0 independente de t. Isso significa que para todo t a equação do plano é satisfeita, logo toda a reta r_2 está contida no plano — isto é, há infinitos pontos de interseção (a reta inteira).
Complemento (intuitivo): o vetor diretor de r_2 é (-1,3,-3). O produto escalar desse vetor com o normal do plano (0,1,1) é
0\cdot(-1)+1\cdot 3 +1\cdot(-3)=3-3=0,
ou seja, o vetor diretor é ortogonal ao normal (logo paralelo ao plano). Como também um ponto da reta (por exemplo t=0 dá (1,-5,10)) satisfaz a equação do plano, a reta inteira fica no plano.]
Resposta
(a) \;x=2+t,\;y=3-t,\;z=1+2t.
(b) \;y+z-5=0.
(c) A reta do item (a) intercepta o plano em (3,2,3) (para t=1).\nA reta r_{2} está contida no plano (interseção com infinitos pontos).