encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(\operatorname{sen} t) \mathbf{j}+(\operatorname{sen} 2 t) \mathbf{k}, \quad t_{0}=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta que é tangente à curva \mathbf{r}(t) = (\cos t)\,\mathbf{i} + (\sin t)\,\mathbf{j} + (\sin 2t)\,\mathbf{k}
no ponto correspondente a t_{0} = \tfrac{\pi}{2}.
Para isso precisamos de dois ingredientes:
  1. O ponto de tangência \mathbf{P}_{0} = \mathbf{r}(t_{0}).
  2. O vetor direção da reta, dado por \mathbf{r}'(t_{0}).

Passo 2

Calculemos o ponto \mathbf{P}_{0}.
\mathbf{P}_{0} = \mathbf{r}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(\cos\tfrac{\pi}{2},\,\sin\tfrac{\pi}{2},\,\sin(\,2\cdot\tfrac{\pi}{2}\,)\bigr) = (0,\,1,\,0).

Passo 3

Agora derivamos \mathbf{r}(t) componente a componente:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-\sin t,\,\cos t,\,2\cos2t\bigr).
Em seguida avaliamos em t=\tfrac{\pi}{2}:
\mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \bigl(-\sin\tfrac{\pi}{2},\,\cos\tfrac{\pi}{2},\,2\cos\pi\bigr) = (-1,\,0,\,-2).
Esse é o vetor direção da reta tangente.

Passo 4

A reta tangente pode ser escrita na forma
\mathbf{R}(s) = \mathbf{P}_{0} + s\,\mathbf{r}'(t_{0}) = (0,\,1,\,0) + s\,(-1,\,0,\,-2).
Isso gera as equações paramétricas
x(s) = -\,s,\quad y(s) = 1,\quad z(s) = -2\,s.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x = -s,\quad y = 1,\quad z = -2\,s,
onde s é o parâmetro da reta.

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