encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=(2 \operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(2 \cos t) \mathbf{j}+5 t \mathbf{k}, \quad t_{0}=4 \pi

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva paramétrica \mathbf{r}(t)=(2\sin t)\,\mathbf{i} + (2\cos t)\,\mathbf{j} + 5t\,\mathbf{k}
no ponto correspondente a t_{0}=4\pi.
O conteúdo aqui é “reta tangente a curva paramétrica” em \mathbb{R}^3.
Para resolver, precisamos de dois ingredientes: o ponto de tangência \mathbf{r}(t_{0}) e o vetor tangente \mathbf{r}'(t_{0}). Depois usamos a fórmula da reta:
\mathbf{L}(u) = \mathbf{r}(t_{0}) + u\,\mathbf{r}'(t_{0}).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência \mathbf{r}(t_{0}).
Substituindo t_{0}=4\pi em cada componente:
\sin(4\pi)=0, \quad \cos(4\pi)=1, \quad 5\cdot 4\pi = 20\pi.
Logo,
\mathbf{r}(4\pi) = (2\cdot 0)\,\mathbf{i} + (2\cdot 1)\,\mathbf{j} + (20\pi)\,\mathbf{k} = 0\,\mathbf{i} + 2\,\mathbf{j} + 20\pi\,\mathbf{k}.

Passo 3

Determinar o vetor tangente \mathbf{r}'(t) aplicando a derivada em cada componente:
\frac{d}{dt}(2\sin t) = 2\cos t, \quad \frac{d}{dt}(2\cos t) = -2\sin t, \quad \frac{d}{dt}(5t) = 5.
Portanto,
\mathbf{r}'(t) = 2\cos t\,\mathbf{i} \;-\;2\sin t\,\mathbf{j} \;+\;5\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t_{0}=4\pi:
\cos(4\pi)=1, \quad \sin(4\pi)=0,
então
\mathbf{r}'(4\pi) = 2\cdot 1\,\mathbf{i} - 2\cdot 0\,\mathbf{j} + 5\,\mathbf{k} = 2\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 5\,\mathbf{k}.

Passo 5

Escrever a reta tangente usando parâmetro u.
A fórmula é
\mathbf{L}(u) = \mathbf{r}(4\pi) + u\,\mathbf{r}'(4\pi).
Em componentes:
\mathbf{L}(u) = \bigl(0,\,2,\,20\pi\bigr) + u\,(2,\,0,\,5).
Logo, as equações paramétricas são
x(u) = 0 + 2u = 2u, \quad y(u) = 2 + 0\cdot u = 2, \quad z(u) = 20\pi + 5u.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
\boxed{x=2u,\quad y=2,\quad z=20\pi+5u.}

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