EXEMPL0 8 Mostre que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots
é divergente.
Explique qual foi o argumento usado para concluir que a série harmônica é divergente?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste de comparação. Vamos usar o argumento de agrupar termos em potências de 2 para comparar com uma série divergente.

Passo 2

Definimos a soma parcial
S_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Para mostrar que a série diverge, basta provar que S_N cresce além de qualquer limite à medida que N\to\infty.

Passo 3

Agrupamos os termos de modo que cada grupo tenha tamanho igual a uma potência de 2:
S_{2^m} =1 +\frac12 +\Bigl(\frac13+\frac14\Bigr) +\Bigl(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac1{2^m}\Bigr).

Passo 4

Em cada grupo, todos os termos são maiores ou iguais ao último do grupo. Por exemplo, no terceiro grupo (tamanho 2) temos
\frac13+\frac14 \ge 2\cdot\frac14=\frac12,
no quarto grupo (tamanho 4) temos
\frac15+\frac16+\frac17+\frac18 \ge 4\cdot\frac18=\frac12,
e assim por diante. De modo geral, o k-ésimo grupo (com 2^{k-1} termos) satisfaz
\sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac1n \ge 2^{k-1}\cdot\frac1{2^k}=\frac12.

Passo 5

Somando todas as estimativas até o grupo m, obtemos
S_{2^m} \ge 1 + \frac12 + \underbrace{\frac12 + \frac12 + \cdots + \frac12}_{\text{\(m-1\) vezes}} =1 + \frac12 + \frac{m-1}{2} = \frac{m+1}{2}.
Como m pode ser arbitrariamente grande, S_{2^m}\to\infty. Logo S_N\to\infty quando N\to\infty.

Resposta

A série harmônica diverge porque, pelo teste de comparação via agrupamento de termos em blocos de tamanho 2^{k-1}, mostramos que as somas parciais crescem sem limite.

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