é divergente.
Explique qual foi o argumento usado para concluir que a série harmônica é divergente?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste de comparação. Vamos usar o argumento de agrupar termos em potências de 2 para comparar com uma série divergente.
Passo 2
Definimos a soma parcial
S_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Para mostrar que a série diverge, basta provar que S_N cresce além de qualquer limite à medida que N\to\infty.
Passo 3
Agrupamos os termos de modo que cada grupo tenha tamanho igual a uma potência de 2:
Como m pode ser arbitrariamente grande, S_{2^m}\to\infty. Logo S_N\to\infty quando N\to\infty.
Resposta
A série harmônica diverge porque, pelo teste de comparação via agrupamento de termos em blocos de tamanho 2^{k-1}, mostramos que as somas parciais crescem sem limite.