EXEMPL0 8 Mostre que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots
é divergente.
Explique qual foi o argumento usado para concluir que a série harmônica é divergente?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. O conteúdo envolvido são séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação por agrupamento de termos para concluir que as somas parciais crescem sem limite.

Passo 2

Seja
S_{2^k}=\sum_{n=1}^{2^k}\frac{1}{n}
a soma dos primeiros 2^k termos. Vamos dividir esses termos em blocos de tamanho dobrado a cada passo:
– bloco 1: n=1
– bloco 2: n=2
– bloco 3: n=3,4
– bloco 4: n=5,6,7,8

– bloco k: n=2^{k-1}+1,\dots,2^k.
No k-ésimo bloco há exatamente 2^{k-1} termos, todos com valor \tfrac1n\ge\tfrac{1}{2^k}. Logo
\sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{n}\;\ge\;2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^k} \;=\;\frac12.

Passo 3

A soma parcial até 2^k agrupa os k primeiros blocos, cada um contribuindo com pelo menos \tfrac12 (exceto o primeiro bloco que é 1), então
S_{2^k}\;=\;1 \;+\;\frac12\;+\;\underbrace{\frac12+\frac12+\cdots+\frac12}_{(k-1)\text{ vezes}} \;=\;\frac{k+1}{2}.
Como k\to\infty faz \tfrac{k+1}{2}\to\infty, concluímos que S_{2^k} não fica limitado e portanto a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente.
O argumento usado foi o teste de comparação por agrupamento de termos, mostrando que cada bloco de termos soma pelo menos \tfrac12, o que leva as somas parciais a crescerem sem limite.

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