é divergente.
Explique qual foi o argumento usado para concluir que a série harmônica é divergente?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. O conteúdo envolvido são séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação por agrupamento de termos para concluir que as somas parciais crescem sem limite.
Passo 2
Seja
S_{2^k}=\sum_{n=1}^{2^k}\frac{1}{n}
a soma dos primeiros 2^k termos. Vamos dividir esses termos em blocos de tamanho dobrado a cada passo:
– bloco 1: n=1
– bloco 2: n=2
– bloco 3: n=3,4
– bloco 4: n=5,6,7,8
…
– bloco k: n=2^{k-1}+1,\dots,2^k.
No k-ésimo bloco há exatamente 2^{k-1} termos, todos com valor \tfrac1n\ge\tfrac{1}{2^k}. Logo
Como k\to\infty faz \tfrac{k+1}{2}\to\infty, concluímos que S_{2^k} não fica limitado e portanto a série diverge.
Resposta
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente.
O argumento usado foi o teste de comparação por agrupamento de termos, mostrando que cada bloco de termos soma pelo menos \tfrac12, o que leva as somas parciais a crescerem sem limite.