Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva definida como a interseção das superficies
e
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva que é a interseção das superfícies $ xy + z = 0 $ e $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo vetorial, mas vou te explicar passo a passo de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a curva que é a interseção dessas duas superfícies é como se fosse uma “linha” onde elas se encontram. Para achar a reta tangente a essa curva em um ponto específico, vamos precisar de um ponto qualquer nessa curva e da direção dessa reta.
Passo 3
Vamos começar encontrando um ponto que pertence à curva de interseção. Para isso, resolvemos o sistema de equações dado:
Escolhemos, por simplicidade, $ x = 0 $ e $ y = 3 $:
Agora verificamos na segunda equação:
Então, o ponto $ (0, 3, 0) $ está na curva.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular os vetores normais das duas superfícies no ponto $ (0, 3, 0) $.
A equação $ xy + z = 0 $ tem vetor normal dado pelo gradiente:
A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ tem vetor normal:
Passo 5
A direção da reta tangente é perpendicular aos vetores normais das duas superfícies. Para encontrar essa direção, fazemos o produto vetorial (ou cruzamento) desses dois vetores normais:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar dividindo por 6:
Passo 6
Agora que temos o ponto $ (0, 3, 0) $ e a direção $ (-1, 0, 3) $, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
Onde $ t $ é o parâmetro.
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são: