Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva definida como a interseção das superficies x y+z=0 e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva que é a interseção das superfícies $ xy + z = 0 $ e $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo vetorial, mas vou te explicar passo a passo de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a curva que é a interseção dessas duas superfícies é como se fosse uma “linha” onde elas se encontram. Para achar a reta tangente a essa curva em um ponto específico, vamos precisar de um ponto qualquer nessa curva e da direção dessa reta.

Passo 3

Vamos começar encontrando um ponto que pertence à curva de interseção. Para isso, resolvemos o sistema de equações dado:
xy + z = 0 x^2 + y^2 + z^2 = 9
Escolhemos, por simplicidade, $ x = 0 $ e $ y = 3 $:
x = 0
Agora verificamos na segunda equação:
y = 3
Então, o ponto $ (0, 3, 0) $ está na curva.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular os vetores normais das duas superfícies no ponto $ (0, 3, 0) $.
A equação $ xy + z = 0 $ tem vetor normal dado pelo gradiente:
(0, 3, 0)
A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ tem vetor normal:
xy + z = 0

Passo 5

A direção da reta tangente é perpendicular aos vetores normais das duas superfícies. Para encontrar essa direção, fazemos o produto vetorial (ou cruzamento) desses dois vetores normais:
d = nabla (xy + z) times nabla (x^2 + y^2 + z^2) = (3, 0, 1) times (0, 6, 0)
Calculando o produto vetorial:
d = i & j & k 3 & 0 & 1 0 & 6 & 0 = (0 cdot 0 - 1 cdot 6) i - (3 cdot 0 - 1 cdot 0) j + (3 cdot 6 - 0 cdot 0) k = (-6, 0, 18)
Podemos simplificar dividindo por 6:
d = (-1, 0, 3)

Passo 6

Agora que temos o ponto $ (0, 3, 0) $ e a direção $ (-1, 0, 3) $, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
(0, 3, 0)
Onde $ t $ é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x = -t y = 3 z = 3t

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