Resolva a EDO
y^prime-yx=x^2
com condição inicial y(1)=2.

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos diante da EDO linear de primeira ordem y' - yx = x^2 com condição inicial y(1)=2. O conteúdo aqui é EDOs lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para uma EDO linear da forma y' + P(x)y = Q(x), o fator integrante é dado por mu(x) = e^integral P(x) ,dx. No nosso caso, P(x) = -tfrac1x, logo
mu(x) = e^integral -tfrac1x ,dx = e^-ln|x| = x^-1

Passo 3

Multiplicando a EDO original por mu(x)=x^-1, obtemos
1xy' - 1x^2y = x

Passo 4

Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada tfracddx(tfracyx), logo
ddxl(yxr) = x

Passo 5

Integrando em relação a x:
yx = integral x ,dx = x^22 + C

Passo 6

Multiplicando por x, obtemos a solução geral y = x^32 + Cx.
Aplicando a condição inicial y(1)=2:
2 = 1^32 + C implies C = 32

Passo 7

Substituindo C=tfrac32 na solução geral, chegamos à solução particular.

Resposta

y(x) = x^3 + 3x2

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