Seja a função f(x, y, z)=ln (z+sin (y^2-x)). Encontre a direção de crescimento máximo de f no ponto p=(1,-1,1) e a taxa de crescimento respetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = \ln \left(z + \sin \left(y^{2} - x\right)\right) $ e precisa descobrir qual é a direção de crescimento máximo dessa função no ponto $ p = (1, -1, 1) $ e qual é a taxa de crescimento nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função multivariada e a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Ou seja,
f

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
x

Passo 4

Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
y

Passo 5

E por fim, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
f
z

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente:
nabla f = ( -cos(y^2 - x)z + sin(y^2 - x), 2y cos(y^2 - x)z + sin(y^2 - x), 1z + sin(y^2 - x) )

Passo 7

Vamos calcular o gradiente no ponto $ p = (1, -1, 1) $. Primeiro, substituímos $ x = 1 $, $ y = -1 $ e $ z = 1 $ nas expressões:
Primeiro, calcule $ y^{2} - x = (-1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0 $
Então,
p = (1, -1, 1)
Sabendo que $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $, simplificamos:
x = 1

Passo 8

A direção de crescimento máximo é dada pelo próprio gradiente. Para obter um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1), precisamos normalizar o gradiente:
Primeiro, calculamos o módulo de $ \nabla f§ $:
nabla f(p)
Então, a direção unitária é:
|nabla f(p)| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 9

A taxa de crescimento máximo é igual ao módulo do gradiente. Já calculamos $ |\nabla f§| = \sqrt{6} $.

Resposta

A direção de crescimento máximo de $ f $ no ponto $ p = (1, -1, 1) $ é o vetor unitário
f
e a taxa de crescimento nessa direção é $ \sqrt{6} $.

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