Seja a função
. Encontre a direção de crescimento máximo de
no ponto
e a taxa de crescimento respetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = \ln \left(z + \sin \left(y^{2} - x\right)\right) $ e precisa descobrir qual é a direção de crescimento máximo dessa função no ponto $ p = (1, -1, 1) $ e qual é a taxa de crescimento nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior aumento de uma função multivariada e a taxa de crescimento nessa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. Ou seja,
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 5
E por fim, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente:
Passo 7
Vamos calcular o gradiente no ponto $ p = (1, -1, 1) $. Primeiro, substituímos $ x = 1 $, $ y = -1 $ e $ z = 1 $ nas expressões:
Primeiro, calcule $ y^{2} - x = (-1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0 $
Então,
Sabendo que $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $, simplificamos:
Passo 8
A direção de crescimento máximo é dada pelo próprio gradiente. Para obter um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1), precisamos normalizar o gradiente:
Primeiro, calculamos o módulo de $ \nabla f§ $:
Então, a direção unitária é:
Passo 9
A taxa de crescimento máximo é igual ao módulo do gradiente. Já calculamos $ |\nabla f§| = \sqrt{6} $.
Resposta
A direção de crescimento máximo de $ f $ no ponto $ p = (1, -1, 1) $ é o vetor unitário
e a taxa de crescimento nessa direção é $ \sqrt{6} $.