Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que parece assim:
O que a gente precisa fazer é encontrar um fator integrante para essa equação e, depois, resolver ela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos reescrever a equação na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata. Assumimos que o fator depende apenas de
.
Multiplicando a equação original por
:
Passo 5
Para que a equação seja exata após a multiplicação, deve valer:
Calculando as derivadas:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Observamos que os termos com
devem cancelar, então igualamos os coeficientes:
Isso implica que
não depende de
, o que já assumimos. Agora, restam os termos sem
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso significa que
.
Passo 7
Se
, então
é uma constante. Vamos escolher
. Isso significa que a equação original já não possui um fator multiplicativo que a torne exata, ou seja, precisamos tentar outra abordagem.
Vamos supor que o fator integrante dependa de
. Ou seja,
.
Multiplicando a equação por
:
Passo 8
Novamente, para que a equação seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Passo 9
Simplificando a equação:
Cancelando
dos dois lados:
Para que isso valha para todo
e
, os coeficientes de
devem ser zero:
Passo 10
Fatorando
:
Como
, temos:
Ou seja:
Passo 11
Essa é uma equação diferencial para
. Vamos resolvê-la:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos escolher
, então:
Passo 12
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Simplificando:
Passo 13
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Isso implica que:
Mas isso depende de
, o que não faz sentido para
. Parece que houve um erro. Vamos verificar:
Na verdade, ao integrar
, o termo
foi tratado corretamente, e a derivada em relação a
deve igualar
.
Portanto, o termo
deve ser zero, ou seja,
é constante.
Passo 14
Assim, a função potencial é:
Onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação é: