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Encontre as equações paramétricas da reta tangente, no ponto (0,1,0), à curva dada pelas equações paramétricas x=t, y=e^-t, z=2 t-t^2.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida por x=t, y=e^-t, z=2t-t^2 no ponto (0,1,0). O conteúdo é cálculo de derivadas de funções vetoriais e reta tangente, e vamos precisar: (1) identificar o parâmetro t0 que leva ao ponto dado e (2) calcular o vetor tangente via derivada.

Passo 2

Primeiro, achamos o valor de t que gera o ponto (0,1,0). Como x=t, para x=0 temos
t0=0
Verificando as outras componentes em t=0:
y(0)=e^0=1, z(0)=2cdot0-0^2=0,
confirma que t0=0 dá mesmo o ponto desejado.

Passo 3

Agora calculamos o vetor tangente da curva, que é a derivada da função vetorial r(t)=(t,e^-t,2t-t^2). Derivando cada componente:
r'(t)=l(1,,-e^-t,,2-2tr)
Em seguida avaliamos em t0=0:
r'(0)=(1,-1,2)
Esse vetor (1,-1,2) indica a direção da reta tangente.

Passo 4

Finalmente, a reta tangente em P=(0,1,0) com vetor diretor v=(1,-1,2) tem equações paramétricas usando um parâmetro s:
x=0+1cdot s=s,
y=1+(-1)cdot s=1-s,
z=0+2cdot s=2s

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x=s, y=1-s, z=2s

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