Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a convergência de várias sequências usando técnicas de limites. As sequências que vamos analisar são:
Primeiro, vamos observar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos , e no denominador, . Quando fica muito grande, os termos de menor grau ( e ) acabam tendo pouco impacto.
Então, podemos simplificar dividindo cada termo pelo maior grau, que é :
Agora, quando tende ao infinito, e tendem a . Então:
A sequência converge para .
Passo 3
Sequência (d):
Essa sequência é famosa e está relacionada ao número . A fórmula geral é:
Então, para qualquer valor constante , a sequência converge para .
Passo 4
Sequência (g):
Vamos simplificar o denominador. O produto é o -ésimo número ímpar, que pode ser representado como . Então:
Agora, usando a fórmula de Stirling para aproximação de fatorial:
Após simplificar, observa-se que o limite tende a zero.
Então, a sequência converge para .
Passo 5
Sequência (b):
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Dividindo numerador e denominador por :
Quando n tende ao infinito, 2n e 4n tendem a 0:
raiz9 + 01 + 0 = raiz9 = 3
Então, a sequência converge para 3.
Passo 6
Sequência (e): an=1, se n é ímpar e 3 n3 n-6, se n é par
Vamos analisar os dois casos:
Quando n é ímpar: an = 1
Quando n é par:
Simplificamos 3n3n - 6:
3n3n - 6 = 3n3(n - 2) = nn - 2 = 11 - 2n
Quando n tende ao infinito, 2n tende a 0:
11 - 0 = 1
Então, tanto para n ímpar quanto par, os termos tendem a 1. Portanto, a sequência converge para 1.