Usando as técnicas de limite e/ou os resultados vistos em aula, em cada caso a seguir, estude a convergência das sequências.
(a) (3 n^3+26 n^3+4 n)
(d) ((1+an)^n)
(g) (n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1))
(b) (raiz9 n+2n+4)
(e) an=1, se n é impar e 3 n3 n-6, se n é par
© (e^n-1n^3-2 n)
(h) (n!n^n)
  • Resposta. Apenas © e ( t ) divergem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a convergência de várias sequências usando técnicas de limites. As sequências que vamos analisar são:
(a) (3 n^3+26 n^3+4 n)
(d) ((1+an)^n)
(g) (n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1))
(b) (raiz9 n+2n+4)
(e) an=1, se n é impar e 3 n3 n-6, se n é par
© (e^n-1n^3-2 n)
(h) (n!n^n)
Vamos resolver cada uma passo a passo!

Passo 2

Sequência (a): (3 n^3+26 n^3+4 n)

Primeiro, vamos observar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos 3n^3, e no denominador, 6n^3. Quando n fica muito grande, os termos de menor grau ( 2 e 4n) acabam tendo pouco impacto.
Então, podemos simplificar dividindo cada termo pelo maior grau, que é n^3:
3n^3 + 26n^3 + 4n = 3 + 2n^36 + 4n^2
Agora, quando n tende ao infinito, 2n^3 e 4n^2 tendem a 0. Então:
limn to infty 3 + 2n^36 + 4n^2 = 36 = 12
A sequência converge para 12.

Passo 3

Sequência (d): ((1+an)^n)

Essa sequência é famosa e está relacionada ao número e. A fórmula geral é:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
Então, para qualquer valor constante a, a sequência converge para e^a.

Passo 4

Sequência (g): (n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1))

Vamos simplificar o denominador. O produto 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) é o n-ésimo número ímpar, que pode ser representado como (2n)! / (2^n n!). Então:
n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1) = n!(2n)!2^n n! = (n!)^2 2^n(2n)!
Agora, usando a fórmula de Stirling para aproximação de fatorial:
n! approx n^n e^-n raiz2pi n
Após simplificar, observa-se que o limite tende a zero.
Então, a sequência converge para 0.

Passo 5

Sequência (b): (raiz9 n+2n+4)

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Dividindo numerador e denominador por n:
raiz9n + 2n + 4 = raiz9 + 2n1 + 4n
Quando n tende ao infinito, 2n e 4n tendem a 0:
raiz9 + 01 + 0 = raiz9 = 3
Então, a sequência converge para 3.

Passo 6

Sequência (e): an=1, se n é ímpar e 3 n3 n-6, se n é par

Vamos analisar os dois casos:
  1. Quando n é ímpar: an = 1
  2. Quando n é par:
    Simplificamos 3n3n - 6:
    3n3n - 6 = 3n3(n - 2) = nn - 2 = 11 - 2n
    Quando n tende ao infinito, 2n tende a 0:
    11 - 0 = 1
Então, tanto para n ímpar quanto par, os termos tendem a 1. Portanto, a sequência converge para 1.

Passo 7

Sequência ©: (e^n-1n^3-2 n)

Vamos analisar o comportamento do numerador e denominador quando n cresce:
  • Numerador: e^n cresce exponencialmente.
  • Denominador: n^3 cresce polinomialmente.
Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções polinomiais. Então, o limite tende a infinito.
Então, a sequência diverge para +infty.

Passo 8

Sequência (h): (n!n^n)

Vamos usar a fórmula de Stirling para aproximar n!:
n! approx n^n e^-n raiz2pi n
Substituindo na sequência:
n!n^n approx n^n e^-n raiz2pi nn^n = e^-n raiz2pi n
Agora, analisando os termos:
  • e^-n decresce exponencialmente para 0.
  • raiz2pi n cresce, mas muito mais lentamente comparado a e^-n.
Portanto, o produto tende a 0.
Então, a sequência converge para 0.

Resposta

Todas as sequências convergem, exceto a sequência ©, que diverge.

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