Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
A parábola
A parábola
Passo 1
O enunciado dá a parábola
e pede para encontrar equações paramétricas para essa curva.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A equação cartesiana é
.
O que precisa ser entregue: - Uma (ou mais) representação(es) paramétrica(s) da curva, ou seja, funções
e tais que o par descreve exatamente os pontos da parábola quando varia em .
Passo 2
Primeira ideia simples: usar a própria coordenada
como parâmetro. Isso é padrão e funciona sempre para curvas que são gráficos de funções
. Definimos o parâmetro
por
Então, substituímos
no lugar de
na equação da parábola para obter
em função de
. Isso gera uma parametrização direta e óbvia.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Portanto uma parametrização válida é
Explicação didática: aqui
percorre todos os números reais; para cada
calculamos
e
e o ponto
está sobre a parábola original. Esta parametrização é direta e é a primeira coisa que se tenta numa prova, porque basta “trocar”
por
.
Passo 4
Uma parametrização alternativa e muitas vezes mais bonita é centrada no vértice da parábola. Primeiro escrevemos a parábola na forma vértice fazendo completar o quadrado:
Daqui vemos que o vértice é o ponto
porque a expressão é
.
Passo 5
Agora escolhemos o parâmetro
como o deslocamento horizontal em relação ao vértice, isto é
Então
. Substituindo na forma vértice:
Portanto obtemos a parametrização centrada no vértice:
Passo 6
Verificações e interpretação (úteis para a prova): ambas parametrizações cobrem toda a parábola quando
varia em
. Para conferir, podemos substituir de volta:
- Na primeira:
e eliminando (pois ) voltamos à equação original. - Na segunda:
. Eliminando temos e então , que é exatamente a parábola dada.
Exemplo numérico rápido (para fixar): tomando
na parametrização centrada:
-
— o vértice. -
. -
.
Esses pontos satisfazem.