Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
A parábola y=x^{2}-2 x+3

Passo 1

O enunciado dá a parábola y=x^{2}-2x+3 e pede para encontrar equações paramétricas para essa curva.
Informações fornecidas:
  • A equação cartesiana é y=x^{2}-2x+3.
    O que precisa ser entregue:
  • Uma (ou mais) representação(es) paramétrica(s) da curva, ou seja, funções x(t) e y(t) tais que o par (x(t),y(t)) descreve exatamente os pontos da parábola quando t varia em \mathbb{R}.

Passo 2

Primeira ideia simples: usar a própria coordenada x como parâmetro. Isso é padrão e funciona sempre para curvas que são gráficos de funções y=f(x). Definimos o parâmetro t por
x=t.
Então, substituímos t no lugar de x na equação da parábola para obter y em função de t. Isso gera uma parametrização direta e óbvia.

Passo 3

Substituindo x=t em y=x^{2}-2x+3 obtemos
y=t^{2}-2t+3.
Portanto uma parametrização válida é
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2}-2t+3,\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação didática: aqui t percorre todos os números reais; para cada t calculamos x(t) e y(t) e o ponto (x(t),y(t)) está sobre a parábola original. Esta parametrização é direta e é a primeira coisa que se tenta numa prova, porque basta “trocar” x por t.

Passo 4

Uma parametrização alternativa e muitas vezes mais bonita é centrada no vértice da parábola. Primeiro escrevemos a parábola na forma vértice fazendo completar o quadrado:
x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2.
Daqui vemos que o vértice é o ponto (1,2) porque a expressão é (x-1)^{2}+2.

Passo 5

Agora escolhemos o parâmetro t como o deslocamento horizontal em relação ao vértice, isto é
t=x-1.
Então x=1+t. Substituindo na forma vértice:
y=(x-1)^{2}+2=t^{2}+2.
Portanto obtemos a parametrização centrada no vértice:
x(t)=1+t,\qquad y(t)=2+t^{2},\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificações e interpretação (úteis para a prova): ambas parametrizações cobrem toda a parábola quando t varia em \mathbb{R}. Para conferir, podemos substituir de volta:
  • Na primeira: (x(t),y(t))=(t,\,t^{2}-2t+3) e eliminando t (pois t=x) voltamos à equação original.
  • Na segunda: (x(t),y(t))=(1+t,\,2+t^{2}). Eliminando t temos t=x-1 e então y=2+(x-1)^{2}, que é exatamente a parábola dada.
Exemplo numérico rápido (para fixar): tomando t=0,1,2 na parametrização centrada:
  • t=0\Rightarrow (x,y)=(1,2) — o vértice.
  • t=1\Rightarrow (x,y)=(2,3).
  • t=2\Rightarrow (x,y)=(3,6).
    Esses pontos satisfazem y=x^{2}-2x+3.

Resposta

\text{(forma simples) }x(t)=t,\quad y(t)=t^{2}-2t+3,\quad t\in\mathbb{R}
\text{(forma centrada no vértice) }x(t)=1+t,\quad y(t)=2+t^{2},\quad t\in\mathbb{R}é

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