Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
A reta que passa por (-1,2) e (3,-4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos (-1,2) e (3,-4).
Informações dadas: os dois pontos por onde a reta passa são (-1,2) e (3,-4).
Pergunta: encontrar uma expressão paramétrica (ou várias equivalentes) para essa reta, isto é, expressões para x e y em função de um parâmetro (usualmente t) que gerem todos os pontos da reta.

Passo 2

Conceito básico — como representar uma reta em forma paramétrica (explicando passo a passo):
Seja um ponto base \,P_0=(x_0,y_0)\, na reta e um vetor diretor \,\vec{v}=\langle a,b\rangle da reta. A forma vetorial da reta é
\vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde \vec{r_0}=\langle x_0,y_0\rangle e t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Em coordenadas isso dá as equações paramétricas
x = x_0 + a\,t,\qquad y = y_0 + b\,t.
Aqui \,t\in\mathbb{R}\, percorre todos os pontos da reta: para cada t obtemos um ponto (x,y). O vetor diretor \vec{v} indica a “direção e passo” com que x e y mudam quando aumentamos t.

Passo 3

Agora vamos obter o vetor diretor a partir dos dois pontos dados: subtraímos coordenadas (você pode pensar no vetor que vai de (-1,2) até (3,-4)):
\vec{v}=(3-(-1),\,-4-2)=(4,-6).
Expliquei: a primeira componente é a variação em x (de -1 para 3), a segunda componente é a variação em y (de 2 para -4).

Passo 4

Usando o ponto base (-1,2) e o vetor diretor \vec{v}=(4,-6), escrevemos as equações paramétricas seguindo a fórmula do Passo 2:
x = -1 + 4t,\qquad y = 2 - 6t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: para t=0 obtemos (x,y)=(-1,2) (o primeiro ponto); para t=1 obtemos (x,y)=(-1+4,\;2-6)=(3,-4) (o segundo ponto). Perfeito — a parametrização está correta.

Passo 5

Podemos simplificar o vetor diretor se desejarmos (não muda a reta, apenas a “velocidade” com que t percorre a reta). Como (4,-6) tem fator comum 2, um vetor diretor mais simples é (2,-3). Isso dá outra parametrização igualmente válida:
x = -1 + 2t,\qquad y = 2 - 3t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Observação: nesta parametrização, para alcançar o ponto (3,-4) precisamos de t=2 (pois -1+2\cdot 2=3 e 2-3\cdot 2=-4). As duas parametrizações são equivalentes; uma é apenas uma reparametrização da outra (troca de velocidade do parâmetro).

Passo 6

Só para lembrar: existem infinitas parametrizações (podemos usar qualquer ponto base da reta e qualquer múltiplo do vetor diretor). Por exemplo, tomando (3,-4) como ponto base e vetor diretor (-4,6) (mesma direção oposta) obtemos
x = 3 - 4t,\qquad y = -4 + 6t,\qquad t\in\mathbb{R},
que também descreve a mesma reta. O importante é que o vetor diretor seja paralelo a (4,-6).

Resposta

x=-1+4t,\;y=2-6t,\;t\in\mathbb{R}
x=-1+2t,\;y=2-3t,\;t\in\mathbb{R}

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