Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
A reta que passa por
e
A reta que passa por
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
e
.
Informações dadas: os dois pontos por onde a reta passa são e
.
Pergunta: encontrar uma expressão paramétrica (ou várias equivalentes) para essa reta, isto é, expressões para e
em função de um parâmetro (usualmente
) que gerem todos os pontos da reta.
Informações dadas: os dois pontos por onde a reta passa são
Pergunta: encontrar uma expressão paramétrica (ou várias equivalentes) para essa reta, isto é, expressões para
Passo 2
Conceito básico — como representar uma reta em forma paramétrica (explicando passo a passo):
Seja um ponto base na reta e um vetor diretor
da reta. A forma vetorial da reta é
Seja um ponto base
onde
e
é o parâmetro. Em coordenadas isso dá as equações paramétricas
Aqui
percorre todos os pontos da reta: para cada
obtemos um ponto
. O vetor diretor
indica a “direção e passo” com que
e
mudam quando aumentamos
.
Passo 3
Agora vamos obter o vetor diretor a partir dos dois pontos dados: subtraímos coordenadas (você pode pensar no vetor que vai de
até
):
Expliquei: a primeira componente é a variação em
(de
para
), a segunda componente é a variação em
(de
para
).
Passo 4
Usando o ponto base
e o vetor diretor
, escrevemos as equações paramétricas seguindo a fórmula do Passo 2:
Verificação rápida: para
obtemos
(o primeiro ponto); para
obtemos
(o segundo ponto). Perfeito — a parametrização está correta.
Passo 5
Podemos simplificar o vetor diretor se desejarmos (não muda a reta, apenas a “velocidade” com que
percorre a reta). Como
tem fator comum
, um vetor diretor mais simples é
. Isso dá outra parametrização igualmente válida:
Observação: nesta parametrização, para alcançar o ponto
precisamos de
(pois
e
). As duas parametrizações são equivalentes; uma é apenas uma reparametrização da outra (troca de velocidade do parâmetro).
Passo 6
Só para lembrar: existem infinitas parametrizações (podemos usar qualquer ponto base da reta e qualquer múltiplo do vetor diretor). Por exemplo, tomando
como ponto base e vetor diretor
(mesma direção oposta) obtemos
que também descreve a mesma reta. O importante é que o vetor diretor seja paralelo a
.