Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
O segmento de reta de
a
O segmento de reta de
Passo 1
O enunciado dá um segmento de reta com extremos em
e
e pede: encontrar equações paramétricas que descrevam esse segmento.
Informações relevantes: os extremos são os pontos e
. A curva pedida é o segmento ligando esses dois pontos (todas as combinações entre eles).
Informações relevantes: os extremos são os pontos
Passo 2
O que são equações paramétricas?
Equações paramétricas representam as coordenadas de cada ponto da curva como funções de um parâmetro, que chamamos de
. Ou seja, procuramos funções
e
tais que, ao variar
num certo intervalo, o par
percorra exatamente o segmento pedido.
Uma forma padrão e muito útil de parametrizar um segmento entre dois pontos e
é a interpolação linear:
Equações paramétricas representam as coordenadas
Uma forma padrão e muito útil de parametrizar um segmento entre dois pontos
onde
e
são vetores posição dos extremos e
varia em
. Para
obtemos
e para
obtemos
— perfeito para cobrir o segmento.
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula aos pontos dados. Definimos
Usando
com
, calculamos as componentes:
Portanto as funções paramétricas obtidas são
e
.
Passo 4
Esclarecimentos importantes e checagem: o parâmetro
deve variar em
para cobrir exatamente o segmento entre os extremos. Verificamos os extremos: para
temos
e para
temos
. Entre esses valores de
o ponto
varia continuamente entre os extremos — ou seja, percorre o segmento.
Passo 5
Comentário didático extra (para a prova): a forma implícita da reta é
(porque os dois pontos mostram que a inclinação é
). A parametrização que fizemos satisfaz isso porque
.
Você também pode usar outras parametrizações (mesma direção e domínio ajustado). Por exemplo, definindo com
dá
— válida também. O que muda entre parametrizações é a velocidade com que o ponto percorre o segmento, não a geometria do segmento em si.
Você também pode usar outras parametrizações (mesma direção e domínio ajustado). Por exemplo, definindo