Encontre as equações paramétricas para as seguintes curvas:
O segmento de reta de (0,0) a (2,4)

Passo 1

O enunciado dá um segmento de reta com extremos em (0,0) e (2,4) e pede: encontrar equações paramétricas que descrevam esse segmento.
Informações relevantes: os extremos são os pontos (0,0) e (2,4). A curva pedida é o segmento ligando esses dois pontos (todas as combinações entre eles).

Passo 2

O que são equações paramétricas?
Equações paramétricas representam as coordenadas (x,y) de cada ponto da curva como funções de um parâmetro, que chamamos de t. Ou seja, procuramos funções x(t) e y(t) tais que, ao variar t num certo intervalo, o par (x(t),y(t)) percorra exatamente o segmento pedido.
Uma forma padrão e muito útil de parametrizar um segmento entre dois pontos \mathbf{A} e \mathbf{B} é a interpolação linear:
\mathbf{r}(t)=(1-t)\mathbf{A}+t\mathbf{B},
onde \mathbf{A} e \mathbf{B} são vetores posição dos extremos e t varia em [0,1]. Para t=0 obtemos \mathbf{A} e para t=1 obtemos \mathbf{B} — perfeito para cobrir o segmento.

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula aos pontos dados. Definimos
\mathbf{A}=(0,0),\qquad \mathbf{B}=(2,4).
Usando \mathbf{r}(t)=(1-t)\mathbf{A}+t\mathbf{B} com t\in[0,1], calculamos as componentes:
x(t)=(1-t)\cdot 0 + t\cdot 2 = 2t,
y(t)=(1-t)\cdot 0 + t\cdot 4 = 4t.
Portanto as funções paramétricas obtidas são x(t)=2t e y(t)=4t.

Passo 4

Esclarecimentos importantes e checagem: o parâmetro t deve variar em [0,1] para cobrir exatamente o segmento entre os extremos. Verificamos os extremos: para t=0 temos (x,y)=(0,0) e para t=1 temos (x,y)=(2,4). Entre esses valores de t o ponto (2t,4t) varia continuamente entre os extremos — ou seja, percorre o segmento.

Passo 5

Comentário didático extra (para a prova): a forma implícita da reta é y=2x (porque os dois pontos mostram que a inclinação é 4/2=2). A parametrização que fizemos satisfaz isso porque y(t)=4t=2\cdot(2t)=2x(t).
Você também pode usar outras parametrizações (mesma direção e domínio ajustado). Por exemplo, definindo s=x com s\in[0,2] x(s)=s,\;y(s)=2s — válida também. O que muda entre parametrizações é a velocidade com que o ponto percorre o segmento, não a geometria do segmento em si.

Resposta

x(t)=2t
y(t)=4t
t\in[0,1]

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