Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
Passo 1
O enunciado dá as duas equações paramétricas
e pede para “eliminar o parâmetro”
e encontrar uma equação cartesiana da curva — ou seja, uma relação entre
e
que não contenha
. As informações relevantes são as duas expressões acima; não há outras condições dadas.
Passo 2
Primeiro passo do processo de eliminação (passo algébrico direto): isolar
em uma das equações. Vou isolar
na equação de
. Parto de
subtraio
dos dois lados para deixar
sozinho:
Portanto obtivemos
Passo 3
Agora substituo essa expressão de
na equação de
. A equação original é
Substituindo
temos
Passo 4
Faço a distribuição e simplifico termo a termo. Primeiro distribuo o
:
Agora somo os termos constantes
e
:
Essa é uma equação cartesiana (sem
) que relaciona
e
.
Passo 5
Posso também colocar a mesma relação em forma padrão (todos os termos do mesmo lado), subtraindo
dos dois lados e somando
:
Ambas as formas representam a mesma reta no plano, e são a resposta procurada. Observação didática rápida: quando as equações paramétricas são lineares em
(como aqui), o resultado normalmente é uma reta linear em
e
.
Passo 6
Exemplo extra curtinho para fixar a ideia: se eu tivesse
e
, isolaria
em
:
. Substituindo em
daria
, que é a equação cartesiana correspondente. O procedimento é o mesmo: isolar
em uma equação e substituir na outra.