Encontre equações para o plano tangente e a reta normal ao gráfico de
nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função $ f(x, y) = y^2 + 4xy + 1 $ nos pontos $ P = (0, 0) $ e $ Q = (1, 2) $.
Pra isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais da função. Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar o vetor normal ao plano tangente, que é essencial para montar as equações que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície em cada direção no ponto considerado.
Passo 3
Vamos começar pelo ponto $ P = (0, 0) $.
Primeiro, calculamos $ f§ $:
Então, as coordenadas completas do ponto no gráfico são $ (0, 0, 1) $.
Agora, encontramos as derivadas parciais no ponto $ P $:
Com essas derivadas, o vetor normal ao plano tangente é $ \mathbf{n} = (f_x, f_y, -1) = (0, 0, -1) $.
A equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Agora, para a reta normal, usamos o vetor normal $ \mathbf{n} = (0, 0, -1) $ e o ponto $ (0, 0, 1) $.
A equação paramétrica da reta normal é:
Então, a reta normal é $ \mathbf{r}(t) = (0, 0, 1 - t) $.
Passo 4
Agora, vamos para o ponto $ Q = (1, 2) $.
Primeiro, calculamos $ f(Q) $:
As coordenadas completas do ponto no gráfico são $ (1, 2, 13) $.
Em seguida, calculamos as derivadas parciais no ponto $ Q $:
O vetor normal ao plano tangente é $ \mathbf{n} = (f_x, f_y, -1) = (8, 8, -1) $.
A equação do plano tangente é:
Para simplificar, podemos escrever:
Agora, para a reta normal, usamos o vetor normal $ \mathbf{n} = (8, 8, -1) $ e o ponto $ (1, 2, 13) $.
A equação paramétrica da reta normal é:
Então, a reta normal é $ \mathbf{r}(t) = (1 + 8t, 2 + 8t, 13 - t) $.
Resposta
Para o ponto $ P = (0, 0) $:
- Plano Tangente: $ z = 1 $
- Reta Normal: $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 1 - t $
Para o ponto $ Q = (1, 2) $:
- Plano Tangente: $ 8x + 8y - z = 11 $
- Reta Normal: $ x = 1 + 8t $, $ y = 2 + 8t $, $ z = 13 - t $