Encontre equações para o plano tangente e a reta normal ao gráfico de f(x, y)=y^2+4 x y+1 nos pontos P=(0,0) e Q=(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função $ f(x, y) = y^2 + 4xy + 1 $ nos pontos $ P = (0, 0) $ e $ Q = (1, 2) $.
Pra isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais da função. Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar o vetor normal ao plano tangente, que é essencial para montar as equações que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f(x, y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x
Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície em cada direção no ponto considerado.

Passo 3

Vamos começar pelo ponto $ P = (0, 0) $.
Primeiro, calculamos $ f§ $:
P = (0, 0)
Então, as coordenadas completas do ponto no gráfico são $ (0, 0, 1) $.
Agora, encontramos as derivadas parciais no ponto $ P $:
f(P)
f(0, 0) = (0)^2 + 4 cdot 0 cdot 0 + 1 = 1
Com essas derivadas, o vetor normal ao plano tangente é $ \mathbf{n} = (f_x, f_y, -1) = (0, 0, -1) $.
A equação do plano tangente é dada por:
(0, 0, 1)
Substituindo os valores:
P
Agora, para a reta normal, usamos o vetor normal $ \mathbf{n} = (0, 0, -1) $ e o ponto $ (0, 0, 1) $.
A equação paramétrica da reta normal é:
fx(0, 0) = 4 cdot 0 = 0
fy(0, 0) = 2 cdot 0 + 4 cdot 0 = 0
n = (fx, fy, -1) = (0, 0, -1)
Então, a reta normal é $ \mathbf{r}(t) = (0, 0, 1 - t) $.

Passo 4

Agora, vamos para o ponto $ Q = (1, 2) $.
Primeiro, calculamos $ f(Q) $:
Q = (1, 2)
As coordenadas completas do ponto no gráfico são $ (1, 2, 13) $.
Em seguida, calculamos as derivadas parciais no ponto $ Q $:
f(Q)
f(1, 2) = (2)^2 + 4 cdot 1 cdot 2 + 1 = 4 + 8 + 1 = 13
O vetor normal ao plano tangente é $ \mathbf{n} = (f_x, f_y, -1) = (8, 8, -1) $.
A equação do plano tangente é:
(1, 2, 13)
Q
fx(1, 2) = 4 cdot 2 = 8
Para simplificar, podemos escrever:
fy(1, 2) = 2 cdot 2 + 4 cdot 1 = 4 + 4 = 8
Agora, para a reta normal, usamos o vetor normal $ \mathbf{n} = (8, 8, -1) $ e o ponto $ (1, 2, 13) $.
A equação paramétrica da reta normal é:
n = (fx, fy, -1) = (8, 8, -1)
8(x - 1) + 8(y - 2) - (z - 13) = 0
8x - 8 + 8y - 16 - z + 13 = 0
Então, a reta normal é $ \mathbf{r}(t) = (1 + 8t, 2 + 8t, 13 - t) $.

Resposta

Para o ponto $ P = (0, 0) $:
  • Plano Tangente: $ z = 1 $
  • Reta Normal: $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 1 - t $
Para o ponto $ Q = (1, 2) $:
  • Plano Tangente: $ 8x + 8y - z = 11 $
  • Reta Normal: $ x = 1 + 8t $, $ y = 2 + 8t $, $ z = 13 - t $

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