Encontre as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
x y z-6=0,
no ponto (3,1,2). (Resposta: 2(x-3)+6(y-1)+3(z-2)=0 ;(x, y, z)= (3+2 s, 1+6 s, 2+3 s), s in R)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície implícita f(x,y,z)=xyz-6=0 no ponto P=(3,1,2). O conteúdo aqui é superfícies definidas por equações implícitas e as ferramentas que vamos usar são o gradiente de f como vetor normal ao plano e a construção de reta a partir desse vetor.

Passo 2

Para superfícies dadas por f(x,y,z)=0, o vetor gradiente nabla f em um ponto é sempre ortogonal (normal) ao plano tangente. Lembrando que
nabla f(x,y,z)=(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial z)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y,z)=xyz-6:
partial fpartial x=yz, partial fpartial y=xz, partial fpartial z=xy Em seguida, avaliamos em P=(3,1,2):
nabla f(3,1,2)=(1cdot2,;3cdot2,;3cdot1)=(2,6,3)

Passo 4

Como nabla f(3,1,2)=(2,6,3) é o vetor normal ao plano tangente, a equação desse plano segue de
(2,6,3)cdot(x-3,y-1,z-2)=0, ou seja
2(x-3)+6(y-1)+3(z-2)=0

Passo 5

Para a reta normal, usamos o mesmo vetor (2,6,3) como direção e o ponto (3,1,2) como ponto inicial. Assim, a forma paramétrica da reta é
(x,y,z)=(3,1,2)+s,(2,6,3), sinR

Resposta

Plano tangente: 2(x-3)+6(y-1)+3(z-2)=0. Reta normal: (x,y,z)=(3+2s,1+6s,2+3s),;sinR.

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