Encontre as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
no ponto
. (Resposta:
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície implícita
no ponto
. O conteúdo aqui é superfícies definidas por equações implícitas e as ferramentas que vamos usar são o gradiente de
como vetor normal ao plano e a construção de reta a partir desse vetor.
Passo 2
Para superfícies dadas por
, o vetor gradiente
em um ponto é sempre ortogonal (normal) ao plano tangente. Lembrando que
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Como
é o vetor normal ao plano tangente, a equação desse plano segue de
Passo 5
Para a reta normal, usamos o mesmo vetor
como direção e o ponto
como ponto inicial. Assim, a forma paramétrica da reta é
Resposta
Plano tangente:
. Reta normal:
.