Encontre as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
x y z-6=0,
no ponto (3,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida pela equação $ x y z - 6 = 0 $ no ponto $ (3, 1, 2) $. Para fazer isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto dado. Para isso, calculamos o gradiente da função $ f(x, y, z) = x y z - 6 $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de $ f $:
f
partial fpartial x = y z
partial fpartial y = x z

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto $ (3, 1, 2) $:
(3, 1, 2)
partial fpartial x|(3,1,2) = 1 times 2 = 2
partial fpartial y|(3,1,2) = 3 times 2 = 6
Então, o vetor gradiente é $ \nabla f(3,1,2) = (2, 6, 3) $.

Passo 5

Agora, vamos usar o vetor gradiente para encontrar a equação do plano tangente. A equação geral do plano é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto dado.

Passo 6

Substituindo os valores:
2(x - 3) + 6(y - 1) + 3(z - 2) = 0
Simplificando:
2x - 6 + 6y - 6 + 3z - 6 = 0
2x + 6y + 3z - 18 = 0
Podemos simplificar dividindo por 1 para manter os coeficientes inteiros:
2x + 6y + 3z = 18

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto $ (3, 1, 2) $ e tem como direção o vetor normal $ (2, 6, 3) $.
A equação paramétrica da reta é:
(3, 1, 2)
(2, 6, 3)
x = x0 + a t
onde $ t $ é o parâmetro.

Passo 8

Substituindo os valores:
x = 3 + 2t
y = 1 + 6t
z = 2 + 3t

Resposta

As equações são:
Plano tangente:
2x + 6y + 3z = 18
Reta normal:
x = 3 + 2t y = 1 + 6t z = 2 + 3t

Exercícios relacionados