Encontre as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida pela equação $ x y z - 6 = 0 $ no ponto $ (3, 1, 2) $. Para fazer isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto dado. Para isso, calculamos o gradiente da função $ f(x, y, z) = x y z - 6 $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de $ f $:
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto $ (3, 1, 2) $:
Então, o vetor gradiente é $ \nabla f(3,1,2) = (2, 6, 3) $.
Passo 5
Agora, vamos usar o vetor gradiente para encontrar a equação do plano tangente. A equação geral do plano é:
onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto dado.
Passo 6
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo por 1 para manter os coeficientes inteiros:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto $ (3, 1, 2) $ e tem como direção o vetor normal $ (2, 6, 3) $.
A equação paramétrica da reta é:
onde $ t $ é o parâmetro.
Passo 8
Substituindo os valores:
Resposta
As equações são:
Plano tangente:
Reta normal: