Encontre as equações polares das seguintes curvas:
da hipérbole \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
e pede a(s) equação(ões) em coordenadas polares. Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado): a>0 e b>0; o centro da hipérbole é a origem (0,0) do plano cartesiano e os eixos principais estão ao longo de x e y.\n
O que vamos apresentar: a forma polar quando usamos o mesmo centro (origem) da hipérbole e também a forma polar clássica quando colocamos a origem num foco (foco direito). Essas são as formas polares mais úteis e habituais da hipérbole.

Passo 2

Primeiro vamos explicar rápido o que é coordenada polar: um ponto no plano é dado por (r,\theta) onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo que o raio-vetor forma com o eixo x. As conversões padrão são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Substituímos essas expressões na equação da hipérbole. Começando:
\frac{(r\cos\theta)^{2}}{a^{2}}-\frac{(r\sin\theta)^{2}}{b^{2}}=1.
Agora desenvolvemos e colocamos r^{2} em evidência:
r^{2}\!\left(\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}-\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right)=1.
Para isolar r^{2} fazemos a divisão:
r^{2}=\frac{1}{\dfrac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}-\dfrac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}}.
Vamos simplificar o denominador para uma única fração. O denominador vale
\frac{b^{2}\cos^{2}\theta-a^{2}\sin^{2}\theta}{a^{2}b^{2}}.
Substituindo isso em r^{2} obtemos
r^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{\,b^{2}\cos^{2}\theta-a^{2}\sin^{2}\theta\,}.
Portanto uma forma polar (com origem no centro da hipérbole) é
r=\pm\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{\,b^{2}\cos^{2}\theta-a^{2}\sin^{2}\theta\,}}.
Observações importantes sobre essa expressão: o denominador precisa ser diferente de zero e, para r real, o denominador deve ter o mesmo sinal que a^{2}b^{2} (positivo), ou seja
b^{2}\cos^{2}\theta-a^{2}\sin^{2}\theta>0.
Esse fato representa as direções \theta para as quais a hipérbole tem pontos reais medidos a partir do centro; para outras direções o valor de r^{2} seria negativo (não há ponto real da hipérbole nessa direção a partir do centro).

Passo 3

Agora derivamos a forma polar tradicional quando a origem é um dos focos (mais usada em teoria de cônicas). Para a hipérbole padrão temos o foco direito em (c,0) com
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}},\qquad e>1.
O semi-latus rectum (denotado aqui por \ell) da hipérbole vale (mesma fórmula formal que para elipse, mas note que e>1)
\ell=\frac{b^{2}}{a}.
A forma polar padrão de uma cônica com um foco na origem e eixo principal ao longo de \theta=0 é
r=\frac{\ell}{1+e\cos\theta},
onde \ell é o semi-latus rectum e e a excentricidade. Vou mostrar rapidamente por que o numerador fica assim: a definição focal dá r=e\cdot(\text{distância ao directriz})â. Para a hipérbole dada a directriz correspondente ao foco direito está na vertical x=\dfrac{a}{e}; a distância do foco direito (c,0) a essa directriz é d=c-\dfrac{a}{e}. Fazendo a conta e simplificando chega-se a \ell=a(e^{2}-1)=b^{2}/a, e substituindo na expressão r=\dfrac{ed}{1+e\cos\theta} obtém-se a forma com \ell no numerador, que simplifica para a fórmula acima.\n
Substituindo \ell=\dfrac{b^{2}}{a} e a expressão de e podemos escrever explicitamente
r=\frac{b^{2}/a}{1+e\cos\theta} \qquad\text{com}\qquad e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}.
Também, usando \ell=a(e^{2}-1), uma forma alternativa é
r=\frac{a(e^{2}-1)}{1+e\cos\theta}.
Aqui o sinal no denominador (mais de + em vez de -) corresponde à escolha de colocar o foco no lado positivo do eixo x e medir \theta a partir desse eixo; trocando foco ou orientando \theta de outra forma pode aparecer um sinal - no denominador (isto corresponde a diferentes escolhas de referência, mas é a mesma família de curvas).

Passo 4

Resumindo as interpretações e restrições (para você não se perder na prova):\n
  • A expressão centrada no centro da hipérbole é boa quando a origem do sistema polar coincide com o centro da hipérbole; ela dá r em função de \theta através de uma raiz quadrada e exige que b^{2}\cos^{2}\theta-a^{2}\sin^{2}\theta>0. Um check simples: para \theta=0 temos r^{2}=a^{2} e portanto r=a, que corresponde ao ponto (a,0) da hipérbole — faz sentido.\n
  • A expressão com origem no foco é a forma canônica de cônicas em coordenadas polares; é mais compacta e útil quando a descrição focal é requerida (por exemplo, propriedades de reflexão, problemas com foco como origem etc.). Lembre que e>1 para hipérbole e \ell=b^{2}/a.

Resposta

r=\pm\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{2}}{\,b^{2}\cos^{2}\theta-a^{2}\sin^{2}\theta\,}}\n
r=\dfrac{b^{2}/a}{1+e\cos\theta}, com e=\sqrt{1+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}

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