Encontre as equações polares das seguintes curvas:
da hipérbole
da hipérbole
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede a(s) equação(ões) em coordenadas polares. Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
e
; o centro da hipérbole é a origem
do plano cartesiano e os eixos principais estão ao longo de
e
.\n
O que vamos apresentar: a forma polar quando usamos o mesmo centro (origem) da hipérbole e também a forma polar clássica quando colocamos a origem num foco (foco direito). Essas são as formas polares mais úteis e habituais da hipérbole.
O que vamos apresentar: a forma polar quando usamos o mesmo centro (origem) da hipérbole e também a forma polar clássica quando colocamos a origem num foco (foco direito). Essas são as formas polares mais úteis e habituais da hipérbole.
Passo 2
Primeiro vamos explicar rápido o que é coordenada polar: um ponto no plano é dado por
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo que o raio-vetor forma com o eixo
. As conversões padrão são
Substituímos essas expressões na equação da hipérbole. Começando:
Agora desenvolvemos e colocamos
em evidência:
Para isolar
fazemos a divisão:
Vamos simplificar o denominador para uma única fração. O denominador vale
Substituindo isso em
obtemos
Portanto uma forma polar (com origem no centro da hipérbole) é
Observações importantes sobre essa expressão: o denominador precisa ser diferente de zero e, para
real, o denominador deve ter o mesmo sinal que
(positivo), ou seja
Esse fato representa as direções
para as quais a hipérbole tem pontos reais medidos a partir do centro; para outras direções o valor de
seria negativo (não há ponto real da hipérbole nessa direção a partir do centro).
Passo 3
Agora derivamos a forma polar tradicional quando a origem é um dos focos (mais usada em teoria de cônicas). Para a hipérbole padrão temos o foco direito em
com
A excentricidade é
O semi-latus rectum (denotado aqui por
) da hipérbole vale (mesma fórmula formal que para elipse, mas note que
)
A forma polar padrão de uma cônica com um foco na origem e eixo principal ao longo de
é
onde
é o semi-latus rectum e
a excentricidade. Vou mostrar rapidamente por que o numerador fica assim: a definição focal dá
. Para a hipérbole dada a directriz correspondente ao foco direito está na vertical
; a distância do foco direito
a essa directriz é
. Fazendo a conta e simplificando chega-se a
, e substituindo na expressão
obtém-se a forma com
no numerador, que simplifica para a fórmula acima.\n
Substituindo e a expressão de
podemos escrever explicitamente
Substituindo
Também, usando
, uma forma alternativa é
Aqui o sinal no denominador (mais de
em vez de
) corresponde à escolha de colocar o foco no lado positivo do eixo
e medir
a partir desse eixo; trocando foco ou orientando
de outra forma pode aparecer um sinal
no denominador (isto corresponde a diferentes escolhas de referência, mas é a mesma família de curvas).
Passo 4
Resumindo as interpretações e restrições (para você não se perder na prova):\n
- A expressão centrada no centro da hipérbole é boa quando a origem do sistema polar coincide com o centro da hipérbole; ela dá
em função de através de uma raiz quadrada e exige que . Um check simples: para temos e portanto , que corresponde ao ponto da hipérbole — faz sentido.\n - A expressão com origem no foco é a forma canônica de cônicas em coordenadas polares; é mais compacta e útil quando a descrição focal é requerida (por exemplo, propriedades de reflexão, problemas com foco como origem etc.). Lembre que
para hipérbole e .