Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares:
(2,-2)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas cartesianas (2,-2) e pede para transformá-lo em coordenadas polares.
Informações fornecidas:
  • Coordenadas cartesianas: x=2 e y=-2.
    Pergunta: encontrar uma (ou mais) representação(es) em coordenadas polares (r,\theta) que correspondam ao ponto dado.

Passo 2

O que são as coordenadas polares e as fórmulas de conversão (aulas básicas, mastigadas).
  • Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde:
    • r é a distância do ponto à origem (sempre r\ge 0 se escolhermos a convenção usual),
    • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo até o segmento que liga a origem ao ponto (em radianos, normalmente).
      As fórmulas de conversão de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,\theta) são:
r=\sqrt{x^2+y^2}
\tan(\theta)=\frac{y}{x}
Explicação: a primeira vem do teorema de Pitágoras (distância à origem). A segunda vem da definição de tangente num triângulo retângulo/razão seno/cosseno: \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{y/r}{x/r}=\dfrac{y}{x}.
Importante: o valor de \arctan(y/x) dá apenas o ângulo de referência; é preciso ajustar \theta conforme o quadrante onde (x,y) está.

Passo 3

Calcular r para o ponto (2,-2).
Use a fórmula:
r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}.
Simplificando \sqrt{8}:
\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.
Portanto r=2\sqrt{2}. Isso significa que o ponto está a uma distância 2\sqrt{2} da origem.

Passo 4

Calcular \theta usando \tan(\theta)=\dfrac{y}{x}.
Aqui x=2 e y=-2, então
\tan(\theta)=\frac{-2}{2}=-1.
O valor de referência cujo tangente vale 1 é \pi/4 (ou 45^\circ). Como \tan(\theta)=-1, o ângulo de referência é \pi/4 mas o sinal negativo indica que \theta pode estar em quadrantes onde a tangente é negativa: isso acontece no segundo e no quarto quadrantes.

Passo 5

Determinar o quadrante correto usando os sinais de x e y.
  • Para (2,-2) temos x>0 e y<0. Isso coloca o ponto no quarto quadrante.
    No quarto quadrante o ângulo com valor de referência \pi/4 corresponde a \theta=-\pi/4 (medido negativamente a partir do eixo x positivo) ou, se preferimos um ângulo no intervalo [0,2\pi), corresponde a
\theta=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}.
Portanto dois jeitos equivalentes e habituais de escrever o ângulo são \theta=-\dfrac{\pi}{4} ou \theta=\dfrac{7\pi}{4}.

Passo 6

Observação sobre unicidade e alternativas: coordenadas polares não são únicas.
  • A representação padrão costuma exigir r\ge 0 e \theta em [0,2\pi); assim (r,\theta)=(2\sqrt{2},\tfrac{7\pi}{4}) é a forma usual.
  • Outra representação válida é usar \theta negativo: (2\sqrt{2},-\tfrac{\pi}{4}).
  • Também é possível usar r negativo e somar \pi ao ângulo: por exemplo (-2\sqrt{2},\tfrac{3\pi}{4}) representa o mesmo ponto (porque trocar o sinal de r e somar \pi ao ângulo leva ao mesmo par (x,y)).
    Eu recomendo usar a forma com r>0 e \theta\in[0,2\pi) para provas, salvo indicação contrária.

Resposta

(2\sqrt{2},\tfrac{7\pi}{4})
(2\sqrt{2},-\tfrac{\pi}{4})
(-2\sqrt{2},\tfrac{3\pi}{4})

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