Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado dá o ponto em coordenadas cartesianas
e pede para transformá-lo em coordenadas polares.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Coordenadas cartesianas:
e .
Pergunta: encontrar uma (ou mais) representação(es) em coordenadas polaresque correspondam ao ponto dado.
Passo 2
O que são as coordenadas polares e as fórmulas de conversão (aulas básicas, mastigadas).
- Em coordenadas polares um ponto é dado por
, onde: -
é a distância do ponto à origem (sempre se escolhermos a convenção usual), -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo até o segmento que liga a origem ao ponto (em radianos, normalmente).
As fórmulas de conversão de coordenadas cartesianaspara polares são:
-
Explicação: a primeira vem do teorema de Pitágoras (distância à origem). A segunda vem da definição de tangente num triângulo retângulo/razão seno/cosseno:
.
Importante: o valor de dá apenas o ângulo de referência; é preciso ajustar
conforme o quadrante onde
está.
Importante: o valor de
Passo 3
Calcular
para o ponto
.
Use a fórmula:
Use a fórmula:
Simplificando
:
Portanto
. Isso significa que o ponto está a uma distância
da origem.
Passo 4
Calcular
usando
.
Aqui e
, então
Aqui
O valor de referência cujo tangente vale
é
(ou
). Como
, o ângulo de referência é
mas o sinal negativo indica que
pode estar em quadrantes onde a tangente é negativa: isso acontece no segundo e no quarto quadrantes.
Passo 5
Determinar o quadrante correto usando os sinais de
e
.
- Para
temos e . Isso coloca o ponto no quarto quadrante.
No quarto quadrante o ângulo com valor de referênciacorresponde a (medido negativamente a partir do eixo positivo) ou, se preferimos um ângulo no intervalo , corresponde a
Portanto dois jeitos equivalentes e habituais de escrever o ângulo são
ou
.
Passo 6
Observação sobre unicidade e alternativas: coordenadas polares não são únicas.
- A representação padrão costuma exigir
e em ; assim é a forma usual. - Outra representação válida é usar
negativo: . - Também é possível usar
negativo e somar ao ângulo: por exemplo representa o mesmo ponto (porque trocar o sinal de e somar ao ângulo leva ao mesmo par ).
Eu recomendo usar a forma come para provas, salvo indicação contrária.