Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} derivável e seja g(t)=f\left(t^{2}+1\right). Supondo f^{\prime}(2)=5, calcule g^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá uma função f derivável em \mathbb{R} e define
g(t)=f\bigl(t^2+1\bigr).
Queremos g'(1) e sabemos que f'(2)=5. Para isso, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Defina a função interna \displaystyle u(t)=t^2+1. Assim, g(t)=f\bigl(u(t)\bigr). Pela regra da cadeia,
g'(t)=f'\bigl(u(t)\bigr)\cdot u'(t).

Passo 3

Calcule u'(t). Como u(t)=t^2+1, temos
u'(t)=2t.
Logo
g'(t)=f'\bigl(t^2+1\bigr)\cdot 2t.

Passo 4

Agora avalie em t=1:
g'(1)=f'\bigl(1^2+1\bigr)\cdot 2\cdot1 =f'(2)\cdot2.
Como f'(2)=5, segue que g'(1)=5\cdot2=10.

Resposta

10

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