Dadas as retas:
r1:l x=3+t y=t z=-1-2 t e r2: x-2-2=y=z
a) calcule o ângulo entre as retas;
b) encontre o ponto de intersecção das retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3, r1 em forma paramétrica e r2 em forma simétrica, e pede:
  1. o ângulo entre elas;
  2. o ponto de intersecção, se existir.
    O conteúdo usado será geometria vetorial: extração de vetores diretores, produto escalar, norma e solução de sistema para igualar coordenadas.

Passo 2

Extraímos de cada reta um ponto e um vetor diretor.
Para
r1: x=3+t y=t z=-1-2t
podemos escolher o ponto P1=(3,0,-1) (quando t=0) e o vetor diretor
vec v1=(1,1,-2)
Para
r2:x-2-2=y=z,
tomamos o parâmetro u tal que y=u, z=u e x-2=-2u, ou seja
P2=(2,0,0)(quando (u=0)),
vec v2=(-2,1,1)

Passo 3

Usamos a fórmula do ângulo entre vetores
costheta=l|vec v1cdotvec v2r||vec v1|;|vec v2|
Calculamos o produto escalar e as normas:
vec v1cdotvec v2=1cdot(-2)+1cdot1+(-2)cdot1=-3,
|vec v1|=raiz1^2+1^2+(-2)^2=raiz6, |vec v2|=raiz(-2)^2+1^2+1^2=raiz6
Logo
costheta=|-3|raiz6,raiz6=36=tfrac12 Longrightarrow theta=arccosl(tfrac12r)=60^circ

Passo 4

Para achar a interseção, igualamos coordenadas de r1(t) e r2(u):
3+t=2-2u, t=u, -1-2t=u
Da segunda equação u=t. Substituindo na primeira:
3+t=2-2t;Longrightarrow;3t=-1;Longrightarrow;t=-tfrac13,;u=-tfrac13
Verificando na terceira: -1-2(-tfrac13)=-1+tfrac23=-tfrac13=u, consistente. O ponto de interseção é
l(3+t,;t,;-1-2tr) =l(3-tfrac13,;-,tfrac13,;-1+tfrac23r) =l(tfrac83,,-tfrac13,,-tfrac13r)

Resposta

(a) 60^circ
(b) l(tfrac83,-tfrac13,-tfrac13r)

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